多重线性回归.

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1、多重回归与相关Multiple regression and correlation)一、 基本概念 ： 由于大自然是复杂的，其中的现象大部分不是一对一的关系，不能用线 性回归与相关来解决问题。如：人的体重与身高有关，也与胸围有关；血压值的大小除了与年龄有 关外，还受到性别、劳动强度、饮食习惯、吸烟状况、家族史等因素的影响。多重回归与多重相关 是研究一个因变量和多个自变量之间线性关系的统计学分析方法。1. 多个自变量与一个因变量的数量关系多重回归2. 多个自变量与多个因变量的数量关系多元回归3. 多个变量与一个变量的相关关系多重相关4. 多个变量与多个变量的相关关系典则相关5. 扣除其它变量影

2、响后一变量与另一变量的相关关系 偏相关本章仅讨论多重线性回归、多重线性相关和偏相关。1、多重线性回归模型与参数估计 ：(一)多重线性回归模型：设观察了 n个对象，每个对象观察了因变量 Y和p个自变量, 模型表达式：Y|xi ,X2,XpP y + p y + 1 X1 2X 2pXp样本回归方程:% a 財 b2X2bpXpB o(a)为截距，B i, B 2,B p(bi,b2,bp)为偏(部分)回归系数,B i(b) 表示除X外的其他自变量固定时，X改变一个单位后 Y的平均变化。标准回归系数：偏回归系数因各自变量值的单位不同不能直接比较其大 小，对变量值作标准化变换，得到的回归系数为标准回

3、归系数，可直接比较其大小，反映各自变量对因变量的贡献大小。(二)参数估计的方法：最小二乘原则n2 n2曰丨Q=( Y)2 二 (b,b?X2 . bpXp)2最小。i = 1i = 1对方程中的每个待估参数求导并设导数为零，得到一组线性方程组。由于是线性方程组，可以直接求解。具体的计算复杂，手工计算几 乎不可能，一般需要计算机软件完成。例：重庆医科大学附属第二医院的资料，住院人数与门诊人数、病床利 用率和病床周转次数的回归关系分析。参数估计如下：变量回归系数标准误tP截距-4848.9443128.707-1.550.1407门诊人数Xi病床利用率X2病床周转次数X3得到回归方程：55.886

4、21.930319.04718.0013.100.00639.8130.550.589496.5933.300.0045Y? 4510.05583 56.19851XF 引入）开始，自变量由少到多逐个引入，使方程外有统计学意义的变量全部引入为 止。优点 ：计算量小。缺点：一次只能引入一个变量。4.逐步法（Stepwise）:开始一个或全部变量引入，然后上述两种方法交替 使用，引入变量后立即考虑是否要剔除，剔除变量后立即考虑是否要引入， 直到方程内的变量全部有统计学意义，方程外的变量全部无统计学意义为 止。 较好的方法 。五、多重回归分析的主要用途 ：1 筛选有关变量（主要用途）23 获得有实际

5、意义的回归方程。六、多重回归分析的一般步骤 ：12 单因子模型分析。3 逐步筛选变量，建立多因素模型。4 综合单因子和多因素模型的结果， 当两者矛盾时， 结合专业知识分析原 因（因素之间是否存在拮抗或协同作用） 。Xi, X2,，Y为多元正态分布七、多重相关和部分相关：应用条件：同简单线性相关一样，仅当 的随机变量时才能考虑相关分析。1.复相关系数（多重相关系数）：多重相关的实质就是Y的实际观察值与由p个自变量预测的Y?值的相关。前面计算的决定系数是 Y与Y?相关系数的平方，那么复相关系数就是决定 系数的平方根。R R2 二 Corr（Y,Y?p 0.741 二 0.8608 2.偏相关系数（部分相关系数）：部分相关系数反映校正其它变量后某一变 量与另一变量的相关关系，校正的意思可以理解为假定其它变量都取值为均 数。计算公式:12,3J( ir：)( 1 吆)3. 偏相关系数的假设检验: 用t检验。总体中扣除q个变量影响的偏相关系数为(-q)，样本中相应的偏相关系数为r(-q)。检验假设：Ho： 7-q) = 0,Hi： (-q)半 0I可采用统计量:r（ q）n q 24 r21 Oq）偏相关系数的假设检验等同于偏回归系数的t检验复相关系数的假设检验等同于回归方程的方差分析。