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1、2022河南省中考二次函数考点二次函数的根本表示形式为y=ax+bx+c(a0)。二次函数最高次必须为二次， 河南省中考二次函数考点二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax2;+bx+c(a0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b2)/4a) ;顶点式y=a(x+m)2+k(a0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为
2、x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像一样，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2) 仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线 ;重要概念：a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。牛顿插值公式(三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x
3、3)/(x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1_x2) (y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。求根公式x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=-b(b2-4ac)/2a(即一元二次方程求根公式)(如右图)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像假如所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。注意：草图要有 1本身图像，旁边注明函数。2画出对称轴，并注明X=什么3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质轴对称1
4、.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)顶点2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b2;)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当= b2;-4ac=0时，P在x轴上。开口3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，那么抛物线的开口越小。决定对称轴位置的因素4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 因为假设对称轴在左边那
5、么对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边那么对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab< 0 )，对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定抛物线与y轴交点的因素5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0，c)抛物线与x轴
6、交点个数6.抛物线与x轴交点个数= b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。_= b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -bb2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)当a>0时，函数在x= -b/2a处获得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在x|x<-b/2a上是减函数，在x|x>-b/2a上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是y|y4ac-b2/4a相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2+c(a0)特殊值的形式7
7、.特殊值的形式当x=1时 y=a+b+c当x=-1时 y=a-b+c当x=2时 y=4a+2b+c当x=-2时 y=4a-2b+c二次函数的性质8.定义域：R值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)(4ac-b2)/4a，正无穷t，正无穷)奇偶性：当b=0时为偶函数，当b0时为非奇非偶函数。周期性：无解析式：y=ax2+bx+c一般式a0a>0，那么抛物线开口朝上;a<0，那么抛物线开口朝下;极值点：(-b/2a，(4ac-b2)/4a=b2-4ac,>0，图象与x轴交于两点：(-b-/2a，0)和(-b+/2a，0=0，图象与x轴交于一点：
8、(-b/2a，0<0，图象与x轴无交点;y=a(x-h)2+k顶点式此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b2)/4a;y=a(x-x1)(x-x2)交点式(双根式)(a0)对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X(X1+X2)/2时Y随X的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连用)。交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。中考二次函数考点分析p 1.常数问题：
9、(1)点到直线的间隔 中的常数问题：“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的间隔 等于一个固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的间隔 公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。(2)三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度，再表示出动点(其坐标需用一个字母表示)到定直线的间隔 ，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而
10、抛物线上的动点坐标就求出来了。2.“在定直线(常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线)上是否存在一点，使之到两定点的间隔 之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度应用两点间的间隔 公式计算即为符合题中要求的最小间隔 ，而该线段与定直线的交点就是符合间隔 之和最小的点，其坐标很易求出(利用求交点坐标的方法)。3.三角形周长的“最值(值或最小值)”问题：“在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题(简称“一边固定两边动的问题)：由于有两个定点，所以该三角形有一定边(其长度可利用两点
11、间间隔 公式计算)，只需另两边的和最小即可。4.三角形面积的值问题：“抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积”的问题(简称“一边固定两边动的问题”)：(方法1)先利用两点间的间隔 公式求出定线段的长度;然后再利用上面3的方法，求出抛物线上的动点到该定直线的间隔 。最后利用三角形的面积公式底高1/2。即可求出该三角形面积的值，同时在求解过程中，切点即为符合题意要求的点。(方法2)过动点向y轴作平行线找到与定线段(或所在直线)的交点，从而把动三角形分割成两个根本模型的三角形，动点坐标一母示后，进一步可得到公式，转化为一个开口向下的二次函数问题来求出值。“三边均动的动三角形面积”的问
12、题(简称“三边均动”的问题)：先把动三角形分割成两个根本模型的三角形(有一边在x轴或y轴上的三角形，或者有一边平行于x轴或y轴的三角形，称为根本模型的三角形)面积之差，设出动点在x轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似(常为图中的那一个三角形)。利用相似三角形的性质(对应边的比等于对应高的比)可表示出分割后的一个三角形的高。从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了。中考二次函数考点二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：(2)顶点式：(3)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程
13、有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。假如没有交点，那么不能这样表示。注意：抛物线位置由决定.(1)决定抛物线的开口方向开口向上.开口向下.(2)决定抛物线与y轴交点的位置.图象与y轴交点在x轴上方.图象过原点.图象与y轴交点在x轴下方.(3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴：)同号对称轴在y轴左侧.对称轴是y轴.异号对称轴在y轴右侧.(4)顶点坐标.(5)决定抛物线与x轴的交点情况.、>0抛物线与x轴有两个不同交点.=0抛物线与x轴有的公共点(相切).<0抛物线与x轴无公共点.(6)二次函数是否具有、最小值由a判断.当a>0时，抛物线有最低点，函数
14、有最小值.当a<0时，抛物线有点，函数有值.(7)的符号的断定：表达式，请代值，对应y值定正负;对称轴，用途多，三种式子相约;轴两侧判，左同右异中为0;1的两侧判，左同右异中为0;-1两侧判，左异右同中为0.(8)函数图象的平移：左右平移变x，左+右-;上下平移变常数项，上+下-;平移结果先知道，反向平移是窍门;平移方式不知道，通过顶点来寻找。(9)对称：关于x轴对称的解析式为，关于y轴对称的解析式为，关于原点轴对称的解析式为，在顶点处翻折后的解析式为(a相反，定点坐标不变)。(10)结论：二次函数(与x轴只有一个交点二次函数的顶点在x轴上=0;二次函数(的顶点在y轴上二次函数的图象关于y轴对称;二次函数(经过原点，那么。(11)二次函数的解析式：一般式：(，用于三点。顶点式：，用于顶点坐标或最值或对称轴。(3)交点式：，其中、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标。假设对称轴和在x轴上的截距，也可用此式。第 页 共 页
