《【考点·专练】备战2023年中考数学必考（全国）-解答题专题07 锐角三角函数综合篇（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【考点·专练】备战2023年中考数学必考（全国）-解答题专题07 锐角三角函数综合篇（解析版）（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题09 锐角三角函数综合知识回顾1. 锐角三角函数的定义： 在RtABC中，C=90正弦：我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sin A即sin AA的对边除以斜边。余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做A的余弦，记作cos A即cos AA的邻边除以斜边。正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做A的正切，记作tan A 即tan AA的对边除以A的邻边。特殊角30456012. 特殊角的锐角三角函数值计算3. 直角三角形的性质直角三角形的两锐角互余。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。含30的直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上
2、的高线。直角三角形的勾股定理。4. 解直角三角形： 利用直角三角形角的关系，边的关系以及边角关系求解直角三角形。5. 解直角三角形的坡度文问题： 坡角：坡面与水平面的夹角。坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度的比。一般用i表示，常写成i=1：m的形式。等于坡角的正切值。 在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。应用领域：测量领域；航空领域 航海领域：工程领域等。6. 解直角三角形的仰角俯角问题： 仰角：向上看的视线与水平线的夹角。俯角：向下看的视线与水平线的夹角。解决此类问题要了解
3、角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。7. 解直角三角形的方向角问题： 在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角。一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数。专题练习1如图，在RtABC中，ABC90，ABBC点D是AC的中点，过点D作DEAC交BC于点E延长ED至点F，使得DFDE，连结AE、
4、AF、CF（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若，则tanBCF的值为 【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由DEAC，即可得出结论；（2）设BEa，则CE4a，由菱形的性质得AECE4a，AECF，则BEABCF，再由勾股定理得ABa，然后由锐角三角函数定义即可得出结论【解答】（1）证明：点D是AC的中点，ADCD，DFDE，四边形AECF是平行四边形，又DEAC，平行四边形AECF是菱形；（2）解：，CE4BE，设BEa，则CE4a，由（1）可知，四边形AECF是菱形，AECE4a，AECF，BEABCF，ABC90，ABa，tanBCFtanBEA，故答案为：2如图，在平
5、行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且EDBF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AC平分FAE，AC8，tanDAC，求四边形AFCE的面积【分析】（1）根据平行四边形性质得出ADBCAEFC，根据等量减等量差相等，得出AEFC，从而证明四边形AFCE是平行四边形；（2）先证明平行四边形AFCE是菱形，根据三角函数求出EO3，求出SAEOAOEO6，从而求出四边形AFCE的面积【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，ADBCAEFC，EDBF，ADEDBCBF，AEFC，四边形AFCE是平行四边形；（2）解：AE
6、FC，EACACF，EACFAC，ACFFAC，AFFC，四边形AFCE是平行四边形，平行四边形AFCE是菱形，AOAC4，ACEF，在RtAOE中，AO4，tanDAC，EO3，SAEOAOEO6，S菱形4SAEO243如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：BAC37，ABC58，AC80米，求A、B两点之间的距离（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin580.85，cos580.53，tan581.60）【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可【解答】解：如图，过
7、点C作CDAB，垂足为点D，在RtACD中，DAC37，AC80米，sinDAC，cosDAC，CDACsin37800.6048（米），ADACcos37800.8064（米），在RtBCD中，CBD58，CD48米，tanCBD，BD30（米），ABAD+BD64+3094（米）答：A、B两点之间的距离约为94米4胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60和45，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：1.41，1.73）【分析】根据锐
8、角三角函数的定义可求出AD的长度，然后即可求出AC的长度，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案【解答】解：在RtADB中，ADB60，tanADB，BD，在RtABC中，C45，tanC，BCAB，BCBDCD33m，AB33，AB78（m）答：主塔AB的高约为78m5菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37减至30，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长（结果精确到0.1米参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，1.73）【分析】在ABC中求出BC以及AC的长度，再求出CD，最后BDCD
9、BC即可求解【解答】解：由题意得，在ABC中，ABC37，AB8米，ACABsin374.8（米），BCABcos376.4（米），在RtACD中，CD8.304（米），则BDCDBC8.3046.41.9（米）答：改动后电梯水平宽度增加部分BD的长为1.9米6旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆ABCD于点B某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD1.2m，DE1.4m同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m（标杆影子在坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5，求旗杆AB的高度（参考数据：sin80
10、.50.98，cos80.50.17，tan80.56）【分析】设PQ为竖直立在坡面DN上的1m高的标杆，PE为标杆影子，长为0.25m，作DFCD交AE于点F，作FHAB于点H，利用相似和锐角三角函数可以求出旗杆AB的高度【解答】解：如图，设PQ为竖直立在坡面DN上的1m高的标杆，PE为标杆影子，长为0.25m，作DFCD交AE于点F，作FHAB于点H，DFPQ，DF5.6，BHDF5.6，在RtAHF中，AFH80.5，tanAFH，tan80.56，AH7.2，旗杆AB的高度为5.6+7.212.8（m）7为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数某小区物业公司决定对小区环境进行优化
11、改造如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角BAD30，BDAD于点D为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15（1）求该斜坡的高度BD；（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离（假设图中C，A，D三点共线）【分析】（1）根据30角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；（2）在ACD中，根据CBD30，CAB15，求出ACAB，从而得出AC的长【解答】解：（1）在RtABD中，ADB90，BAD30，BA20m，BDBA10（m），答：该斜坡的高度BD为10m；（2）在ACB中，BAD30，BCA15，CBA15，ABAC20（m），答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m8
12、在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30已知山坡坡度i3：4，即tan ，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB（结果精确到0.1m，参考数据：1.732）【分析】过点D作DEAC，垂足为E，过点D作DFAB，垂足为F，则DEAF，DFAE，在RtDEC中，根据已知可设DE3x米，则CE4x米，然后利用勾股定理进行计算可求出DE，CE的长，再设BFy米，从而可得AB（12+y）米，最后在RtDBF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而求出AC的长，再在RtABC中，利用锐角三角函
13、数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答【解答】解：过点D作DEAC，垂足为E，过点D作DFAB，垂足为F，则DEAF，DFAE，在RtDEC中，tan，设DE3x米，则CE4x米，DE2+CE2DC2，（3x）2+（4x）2400，x4或x4（舍去），DEAF12米，CE16米，设BFy米，ABBF+AF（12+y）米，在RtDBF中，BDF30，DFy（米），AEDFy米，ACAECE（y16）米，在RtABC中，ACB60，tan60，解得：y6+8，经检验：y6+8是原方程的根，ABBF+AF18+831.9（米），建筑物的高度AB约为31.9米9如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BFFD40米在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9，点E的俯角为16问小明能否运用以上数据，得到综合
