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1、专题10 相似综合知识回顾1. 比例的性质： 基本性质：两内项之积等于量外项之积。即若，则。 合比性质：若，则。 分比性质：若，则。 合分比性质：若，则。 等比性质：若，则。2. 平行线分线段成比例：三条平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例。即如图：有；。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。3. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等
2、，对应边的比相等。对应边的比叫做相似比。相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比。4. 相似三角形的判定：平行线法判定：平行于三角形一边的直线与三角形的另两边或另两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似。对应边判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似。两边及其夹角判定法：两组对应边的比相等，且这两组对应边的夹角相等的两个三角形相似。两角判定：有两组角（三组角）对应相等的两个三角形相似。专题练习1如图，在RtABC中，ABC90，E是边AC上一点，且BEBC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求
3、证：ADEABC【分析】根据等腰三角形的性质可得CCEBAED，由ADBE可得DABC90，即可得ADEABC【解答】证明：BEBC，CCEB，CEBAED，CAED，ADBE，DABC90，ADEABC2如图，在ABC与ABC中，点D、D分别在边BC、BC上，且ACDACD，若 ，则ABDABD请从；BADBAD这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明【分析】利用相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似可证明【解答】解：理由如下：ACDACD，ADCADC，ADBADB，又BADBAD，ABDABD同理，选也可以故答案是：（答案不唯一）3如图所示，在等腰三角形ABC中，ABA
4、C，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CFBE，AE2AQAB求证：（1）CAEBAF；（2）CFFQAFBQ【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BC，利用SAS证明ACEABF，根据全等三角形的性质即可得解；（2）利用全等三角形的性质，结合题意证明ACEAFQ，CAFBFQ，根据相似三角形的性质即可得解【解答】证明：（1）ABAC，BC，CFBE，CFEFBEEF，即CEBF，在ACE和ABF中，ACEABF（SAS），CAEBAF；（2）ACEABF，AEAF，CAEBAF，AE2AQAB，ACAB，ACEAFQ，AECAQF，AEFBQF，AEAF，AEFAFE，BQFAFE，
5、BC，CAFBFQ，即CFFQAFBQ4如图，在矩形ABCD中，AB8，AD4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AFAE交CB的延长线于点F，设DEa（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GCAE时，求证：四边形AGCE是菱形【分析】（1）根据矩形的性质可得ADEABF，DAE+BAE90，结合题干AFAE可得BAF+BAE90，进而可得DAEBAF，进而可得ADEABF，利用相似三角形的性质可得BF的长度；（2）先根据AGCE，GCAE进而可得四边形AGCE是平行四边形，通过勾股定理可得GF2、EF2、AE2，再过点G作GMAF于
6、点M，易得MGFAEF，进而利用相似三角形的性质可得GM的长，即可得GMGB，进而可得GF是AFB的角平分线，最后利用角平分线得性质可得EAEC，即可得平行四边形AGCE是菱形【解答】（1）解：四边形ABCD是矩形，ADEABFBAD90，DAE+BAE90，AFAE，BAF+BAE90，DAEBAF，ADEABF，即，BF2a，（2）证明：四边形ABCD是矩形，AGCE，GCAE，四边形AGCE是平行四边形AGCE8a，BGABAG8（8a）a，在RtBGF中，GF2a2+（2a）25a2，在RtCEF中，EF2（2a+4）2+（8a）25a2+80，在RtADE中，AE242+a216+a
7、2，如图，过点G作GMAF于点M，GMAE，MGFAEF，GMa，GMBG，又GMAF，GBFC，GF是AFB的角平分线，EAEC，平行四边形AGCE是菱形5如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF已知四边形BFED是平行四边形，（1）若AB8，求线段AD的长（2）若ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积【分析】（1）证明ADEABC，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得ABC的面积是16，同理可得EFC的面积9，根据面积差可得答案【解答】解：（1）四边形BFED是平行四边形，DEBF，DEBC，ADE
8、ABC，AB8，AD2；（2）ADEABC，（）2（）2，ADE的面积为1，ABC的面积是16，四边形BFED是平行四边形，EFAB，EFCABC，（）2，EFC的面积9，平行四边形BFED的面积169166如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，ACDABE（1）求证：ABCAEB；（2）当AB6，AC4时，求AE的长【分析】（1）根据两角相等可得两三角形相似；（2）根据（1）中的相似列比例式可得结论【解答】（1）证明：四边形ABCD为菱形，ACDBCA，ACDABE，BCAABE，BACEAB，ABCAEB；（2）解：ABCAEB，AB6，AC4，AE97如图，矩形ABCD中，点
9、E在DC上，DEBE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F（1）若BE平分CBD，求证：BFAC；（2）找出图中与OBF相似的三角形，并说明理由；（3）若OF3，EF2，求DE的长度【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义，求得36，从而求证BFAC；（2）根据相似三角形的判定进行分析判断；（3）利用相似三角形的性质分析求解【解答】（1）证明：如图，在矩形ABCD中，ODOC，ABCD，BCD90，234，3+590，DEBE，12，又BE平分DBC，16，36，6+590，BFAC；（2）解：与OBF相似的三角形有ECF，BAF理由如下：13，EFCBFO，ECFOBF，DEBE，
10、12，又24，14，又BFAOFB，BAFOBF；（3）解：在矩形ABCD中，432，12，14又OFBBFA，OBFBFA13，OFBEFC，OBFECF，即3CF2BF，3（CF+OF）3CF+92BF+9，3OC2BF+93OA2BF+9，ABFBOF，BF2OFAF，BF23（OA+3），联立，可得BF1（负值舍去），DEBE2+1+3+8如图，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF（1）求证：ABMEBF；（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；（3）设BEx，DEF的面积为y
11、，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？【分析】（1）利用两个角对应相等的三角形全等即可证明ABMEBF；（2）过点E作ENAD于点N，可得四边形AMEN为矩形，从而得到NEAM4，ANME，再由勾股定理求出BM3，从而得到MEAN2，进而得到DN8，再由勾股定理，即可求解；（3）延长FE交DC的延长线于点G根据，可得，再证得ABMECG，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解【解答】（1）证明：EFAB，AM是BC边上的高，AMBEFB90，又BB，ABMEBF；（2）解：过点E作ENAD于点N，如图：在平行四边
12、形ABCD中，ADBC，又AM是BC边上的高，AMAD，AMEMANANE90，四边形AMEN为矩形，NEAM4，ANME，在RtABM中，又E为BC的中点，MEAN2，DN8，在RtDNE中，；（3）解：延长FE交DC的延长线于点G，如图：sinB，EFx，ABCD，BECG，EGCBFE90，又AMBEGC90，ABMECG，GC（10x），DGDC+GC5+（10x），yEFDGx5+（10x）x2+x（x）2+，当x时，y有最大值为，答：yx2+x，当x时，y有最大值为9【问题呈现】如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD，CE求证：BDCE【类比探究】如图2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABCADE90连接BD，CE请直接写出的
