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1、第十八章静电场中的导体和电介质18-1 如图所示，三块平行放置的金属板A、B、C,面积均为S . B、C板接地， A板带电量Q，其厚度可忽略不计.设A、B板间距为1, B、C板间距为d .因d很小， 各金属板可视为无穷大平面，即可忽略边缘效应试求：（1） B、C板上的感应电荷，（2） 空间的场强及电势分布解因d很小，各金属板可视为无穷大平面，所以除边缘部分外，可认为E沿Oz方向， z相同处E的大小相同，即E = E （z）k .z（1）设B、C表面的面电荷密度为c、c、c、c如图所示由于B、C板接地,1234故B、C板电势与无穷远相同，电势均为零若B、C板外表面带有电荷，必有电场线连 接板外表
2、面与无穷远，则B、C板电势与无穷远不同，因此可知B、C板外表面不带电荷, 即 c =c = 0 .14作高斯面为闭合圆柱面如图，两底面在B、C板内部、与Oz垂直，侧面与Oz平行， 由高斯定理H E dS _ 0 _ (c +c + Q )Ss o 23 S 1Q S (1)I区E为3个无穷大带电平面产生的场强的叠加，即 EcQS cE _ 2 3-_ z1 2s2s2s0 0 0 厂 cQ/Sc同理，ii区电场强度E 2 _ 2+2s000 因为A、B间的电压U 与A、C板的电压U 相等，-E1_ E (d-1)，即 ABACz1z 2-3-d-j+ 空上2s0Q d 21可得c +c2根据叠
3、加原理，1 Ac0IIIz11S3ad （2）2s002s 2 s -1)00d -1 Q厂g，Q _c S_-匕22d_ c Q:S c _ (_2s2s2s2s d 2s 2ds S0 0 0 0 0 0申 _卜 E d1 _E d1_ (d 1 )Q z1 z 1z z1s dS0厂 c QS c / d-111、Q 1QII 区 E _ +_ (-+) _z 2 2s2s2s2ds 2s 2ds S s dS0 0 0 0 0 0 0申 _JdE d1 _JdE d1 _-(d-z)2 z 2z z2 s dS018-2.点电荷q放在电中性导体球壳的中心，壳的内外半径分别为代和R2，如
4、图所示求 场强和电势的分布，并画出E-r和申一r曲线.解由于电荷q位于球心O，导体球壳对球心O具有球对称性，故感应联立求解（1）（2）I区Ez1將所以B、C板内表面分别带电Q， Q =c -S = Q33dd -111、Q _-(d -1 )Q& dS0电荷和电场的分布也对球心 O 具有球对称性；可知感应电荷均匀分布在导体球壳的内外表 面上；电场线为过O点的放射状半直线，场强E沿半径方向，在到O点的距离r相同处， 场强的大小e相等设球壳内表面带电Q，外表面带电Q12用以O点为球心，R r R时,2q + Q + Q q 小 q + Q + QqE 1214兀 r 20R r R 时，E 片0,
5、2114兀 r 20q + Q + Q1 24兀 r4兀 r00Q qc,，94兀 r 210q + Q申1 +1 4兀 r 4兀 R 4兀 R0 0 2 0 2r 9 Q + Q + Q Q + Qr R 区域，9 23 a Bb14兀 r0令r R，即为B球的电势9BR r R 区域，BA9 -Qa24兀 r0Q + QA B .4兀 R0BQc2卜2+34兀 r 4兀 R 4兀 R 4兀00 B0 B0令r R，即为A球的电势9 丄(务+务)AA 4兀 R R0 A B 18-4同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱构成，如图所示设内圆 柱体的半径为R，外圆柱体的内半径为R 使
6、内圆柱带电，单位长度上的电量为1，试求 12解由于两个同轴金属直圆柱可视为无限长、对圆柱轴线O轴对称；所以电荷和电场的 分布也对圆柱轴线O轴对称；电场线在垂直于圆柱轴线的平面内，为过圆柱轴线的放射状 半直线；场强E沿半径方向，在到轴线O的距离r相同处，场强的大小E相等.用以圆柱轴线为轴，两底面与圆柱轴线垂直的闭合圆柱面为高斯面高斯面的两底面与圆柱轴线O垂直，半径为r，R r R ；两底面与E平行，E通量为零；圆柱侧面长度 2 1为l，与E正交，E通量申二2兀rlE 由高斯定理K E dS 二 2n rlE 二也 US 0可得e二厂-2ns r沿电场线积分，由 R 沿半径到 R ，内外圆柱间的电
7、势差12U J r2 E dl J r2 Edr JR 耳R1R10l Rln 2118-5.半径为2.0cm的导体球外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为 4.0cm和5.0cm (如图所示)球与球壳间是空气，球壳外也是空气，当内球带电荷为3.0x 10-sC时，试求：(1)这个系统的静电能；(2)如果用导线把球壳与球连在一起，结 果如何？解(1)考虑系统对球心O具有球对称性，可知内球表面均匀带电Q = 3.0x 10-8C 根 据高斯定理可以求得球壳的内表面均匀带电-Q = -30x 10-8C，球壳的外表面均匀带电Q二3.0x 10-sC 根据导体性质和叠加原理可得r r =
8、 0.02m 区和 0.04m = r r r = 0.05m 区，E 二 0 ；1 2 3 r r r 区和 r r 区，E 二 Qe .1234ns r 2 r-0系统静电能W(-)2 4n r2dr + s (Q)2 4n r2drt r 2 0 4ns r2r 2 0 4ns r21 0 3 0Q2 1 1 1=旦(+) = 1.8 x 10 -4 (J)8ns r r r0123(2)如果用导线把球壳与球连在一起，则球壳与球成为一个导体，仅球壳的外表面均 匀带电Q = 3.0x 10-8C 根据导体性质和叠加原理可得r r 区，E 二 0 ； r r 区，E 二Qe .334ns r
9、 2 r0f 1 QQ2 1系统静电能W 亍(Q )24nr2dr =上二 8.1 x 10-5(J)t r 2 0 4ns r28ns r300 318-6.范德格拉夫起电机球形高压电极A的外半径为20cm，空气的介电强度(击穿场 强)为3kV mm-1，问此范德格拉夫起电机最多能达到多大电压？解球形高压电极A的外半径为R = 020m，电极A外接近电极处场强最大二 E二 3x 106k m-14ns R 2max0起电机能达到最大电压口 二二E R二6x 105(V)max 4ns R max018-7.如图所示，C二C二2pF，其余的电容均为3pF. (1)求A、B间总电容.(2)若68
10、U 二 900V，求C、C.上的电量.(3)若U = 900V，求UAB 解19C 、 C 串联，451111 + + - CCCC345345C 与 C 并联，则3456C C +C 3pF34563456与C、C串联，电容为C，271 1C 3456 可得C 1 pF. C与C并联，电容为C，8 C与C、C串联，191) C 、3所以C345C3456AB1+ + -C C27C二 C + C8电容为C ，AB11 + + 一C CAB11CC19CD二 3 pF.因此 C 1 p F .AB(2) C、C 与 C 串联，C C C”，1919所以U U U 1U 300 V，故CU193 AB1 1(3) 由 U 30V ，C 、C、C 串联，C C C 3 pF，故U34562734562718-8收音机里用的电容器如图所示，其中共有n个面积为S的 金属片，相邻两片的距离均为d .奇数片连在一起作为一极，它们固 定不动(叫做定片).偶数片连在一起作为另一极，可以绕轴转动(叫 做动片).(1)转动到什么位置C最大？转动到什么位置C最小？ (2)(n -1) S0d忽略边缘效应，证明C的最大值CmaxU + U + U U ，19ABCU CU 9X10-4(C). 99 C
