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1、第七节正弦定理和余弦定理知识能否忆起1.正弦定理分类内容定理abc=厂=厂=2R（R是ABC外接圆的半径）sin A sin B sin C变形a = 2 Rsin A, b = 2Rsin B, c= 2Rsin C,公式sin A : sin B : sin C= a : b : c,abc sin A , sin B=, sin C =2R2R2R解决的问题 已知两角和任一边，求其他两边和另一角， 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2 余弦定理分类内容定理在AABC 中，有 a (3)S=；r(a + b + c)(r为三角形的内切圆半径)小题能否全取，启=45 , BC= 32，
2、贝V AC=(= b2 + c2 2bccos_A；b2= a2+ c2 2accos B； c2 a2+ b2 2abcos C变形公式b2+ c2 a2a2+ c2 b2cos A =,； cos B=；2bc2aca2+ b2 c2cos C ,2ab解决的问题 已知三边，求各角； 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3 三角形中常用的面积公式1(1)S=；ah(h表示边a上的高)；111(2)S= bcsin A = _acsin B=absin C；1 (2012 广东高考)在ABC中，若/A = 60222解析：选B 由正弦定理得:BCsin AACsin B，即sin 60
3、AC右所以AC =2=23.2 .在ABC 中，a = 3, b = 1, c= 2，贝U A 等于（）A. 30B. 45 C. 60 D . 75 b2+ c2 - a21 + 4 - 31解析：选 C TCOS A =,2bc2 X1 X22又0A B? a b? sin Asin B.(2) 在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：利用正弦、余弦定理解三角形典题导入c，且 bsin A例1 (2012 浙江高考在ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b,3acos B.(1)求角B的大小;若 b = 3 , sin C = 2sin A,求 a, c 的值.自主解答 由bs
4、in A= 3acos B及正弦定理sin Absin B得 sin B=3cos B,所以tan B= 3，所以B=?.a c由sin C=细A及冇=贏，得c = 2a.由 b = 3 及余弦定理 b2 = a2+ c2 2accos B,得 9 = a2 + c2 ac.所以 a = 3 , c = 2 - 3.在本例(2)的条件下，试求角 A的大小.a b解：= 一，sin A sin B7tA =as in Bsin A = b1由题悟法1 应熟练掌握正、余弦定理及其变形解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用 余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.2 已知两角和一边，该三角形是确
5、定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该 三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.以题试法1 .ABC的三个内角 A, B, C所对的边分别为 a, b , c, asin Asi n B+ bcos2A = ：2 a.若 c2 = b2 + ：3a2，求 B.解：(1)由正弦定理得,故 sin B=sin 2Asin B+ sin Bcos 2A =sin B(sin 2A + cos, 2sin A，所以-a(2)由余弦定理和c2= b2 + ；3a2，得 cos B =2c由(1)知 b2= 2a2,1a2可得 cos2B=,又 cos B0，故 co
6、s B =2，所以B= 45利用正弦、余弦定理判定三角形的形状典题导入例2 在AABC中a, b , c分别为内角 A, B, C的对边，且2asin A = (2b + c)sin B + (2 c+ b)sin C.(1) 求A的大小；(2) 若sin B+ sin C= 1，试判断厶ABC的形状.自主解答 由已知，根据正弦定理得2a2 = (2b+ c) b + (2c+ b)c，即a2= b2+ c2+ bc.由余弦定理得a2 = b2 + c2 2bccos A,1故 cos A = 2,T0A180 ，-A= 120 .3(2)由(1)得 sin 2A = sin 2B+ sin2
7、C+ sin Bsin C=_.4又 sin B+ sin C= 1 ,1 解得 sin B= sin C =.20 B60 ,0 C60。，故B= C,/ABC是等腰的钝角三角形.由题悟法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1) 利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相 应关系，从而判断三角形的形状；(2) 利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A + B+ C=n这个结论.注意在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项
8、提取公因式， 以免漏解.以题试法2. (2012 安徽名校模拟)已知AABC的三个内角 A, B, C所对的边分别为A7向量 m = (4 , - 1) , n = cos 2, cos 2 A，且 m n = 一.22(1) 求角A的大小；(2) 若b + c = 2a= 2 3，试判断厶ABC的形状.A解： vm = (4, - 1), n = cos2；, cos 2 A ,A1 + cos Af n =4cos律-cos 2A=4-(2cos2A-1)一2cos2A+2cosa, b, c,A + 3.7 2cos 2 A+ 2cos A + 3 =21 解得 cos A = ；n0
9、A n,A =.3在AABC 中，a2 = b2+ c2 2bccos A，且 a =3,1=b2 + c2 2bc = b2+ c2 be.2又Tb + c = 2 - 3 ,b = 2 l3 e,代入式整理得 c2 2寸3。+ 3 = 0,解得e= J3, b = 3，于是a=b = c = ：3，即ABC为等边三角形.与三角形面积有关的问题典题导入例3 （2012 新课标全国卷）已知a, b, c分别为 ABC三个内角 A, B, C的对边, acos C+ 吓3asin C b c = 0.若a= 2 , ABC的面积为-3，求b , c.自主解答 由acos C + 3asin C
10、b c= 0及正弦定理得 sin Acos C+ 3sinAsin C sin B sin C= 0.因为 B=n A C,所以 3si n As in C cos As in C sin C = 0.n 1由于sin so，所以 sin A- 6 = 2.n又 0 V A n，故 A = 3.1 /KBC 的面积 S=?bcsin而 a2 = b2+ c2 2bccos A，故 b2+ c2 = 8.解得b = c = 2.由题悟法1 正弦定理和余弦定理并不是孤立的解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用.1 1 12 在解决三角形问题中，面积公式S= 2absin C=2bcsin
11、 A=2acsin B最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用.由bsin Bcsin Csin B可得赢即 b = 2 c.b2+ c2 a24 c2 + c2 91所以cos A2bc4 c22解得 c=3 , b = 23,1所以 S$bc = bcsin21A = _X223x2以题试法13. （2012 江西重点中学联考）在ABC 中，2cos 2 A= cosn 则cos A = 2.因为0An，所以A =孑A cos A.(1)求角A的大小;若 a= 3, sin B = 2sin C,求 Saabc.1解：（1）由已知得;（2cos 2A 1） = cos 2A cos A,1.在ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件
