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1、特殊四边形中的动点问题与解题方法1、 如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,B=90,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动,设运动时间为ts1当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形？2当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形？3当t为何值时,四边形PQCD为直角梯形？分析：1四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ2四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE3四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC所有的关系式
2、都可用含有t的方程来表示,即此题只要解三个方程即可解答：解：1四边形PQCD平行为四边形PD=CQ24-t=3t解得：t=6即当t=6时,四边形PQCD平行为四边形2过D作DEBC于E则四边形ABED为矩形BE=AD=24cmEC=BC-BE=2cm四边形PQCD为等腰梯形QC-PD=2CE即3t-24-t=4解得：t=7s即当t=7s时,四边形PQCD为等腰梯形3由题意知：QC-PD=EC时,四边形PQCD为直角梯形即3t-24-t=2解得：t=6.5s即当t=6.5s时,四边形PQCD为直角梯形点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形,直角梯形的判定,难易程度适中2、 如图,ABC中,点O
3、为AC边上的一个动点,过点O作直线MNBC,设MN交BCA的外角平分线CF于点F,交ACB内角平分线CE于E1试说明EO=FO；2当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形并证明你的结论；3若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形,猜想ABC的形状并证明你的结论分析：1根据CE平分ACB,MNBC,找到相等的角,即OEC=ECB,再根据等边对等角得OE=OC,同理OC=OF,可得EO=FO2利用矩形的判定解答,即有一个内角是直角的平行四边形是矩形3利用已知条件与正方形的性质解答解答：解：1CE平分ACB,ACE=BCE,MNBC,OEC=ECB,OEC=OCE,OE=OC,同理,OC=OF,
4、OE=OF2当点O运动到AC中点处时,四边形AECF是矩形如图AO=CO,EO=FO,四边形AECF为平行四边形,CE平分ACB,ACE= ACB,同理,ACF= ACG,ECF=ACE+ACF= ACB+ACG= 180=90,四边形AECF是矩形3ABC是直角三角形四边形AECF是正方形,ACEN,故AOM=90,MNBC,BCA=AOM,BCA=90,ABC是直角三角形点评：本题主要考查利用平行线的性质等角对等边证明出结论1,再利用结论1和矩形的判定证明结论2,再对3进行判断解答时不仅要注意用到前一问题的结论,更要注意前一问题为下一问题提供思路,有相似的思考方法是矩形的判定和正方形的性质
5、等的综合运用3、 如图,直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发,沿线段DA向点A作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点NP、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动设点Q运动的时间为t秒1求NC,MC的长用t的代数式表示；2当t为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形；3是否存在某一时刻,使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分？若存在,求出此时t的值；若不存在,请说明理由；4探究：t为何值时,PMC为等腰三角形分析：1依据题意易知四边形A
6、BNQ是矩形NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ,BC、AD已知,DQ就是t,即解；ABQN,CMNCAB,CM：CA=CN：CB,2CB、CN已知,根据勾股定理可求CA=5,即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ,列方程4-t=t即解；3可先根据QN平分ABC的周长,得出MN+NC=AM+BN+AB,据此来求出t的值然后根据得出的t的值,求出MNC的面积,即可判断出MNC的面积是否为ABC面积的一半,由此可得出是否存在符合条件的t值4由于等腰三角形的两腰不确定,因此分三种情况进行讨论：当MP=MC时,那么PC=2NC,据此可求出t的值当CM=CP时,可根据CM和C
7、P的表达式以与题设的等量关系来求出t的值当MP=PC时,在直角三角形MNP中,先用t表示出三边的长,然后根据勾股定理即可得出t的值综上所述可得出符合条件的t的值解答:解：1AQ=3-tCN=4-3-t=1+t在RtABC中,AC2=AB2+BC2=32+42AC=5在RtMNC中,cosNCM= = ,CM= 2由于四边形PCDQ构成平行四边形PC=QD,即4-t=t解得t=23如果射线QN将ABC的周长平分,则有：MN+NC=AM+BN+AB即：1+t+1+t= 3+4+5解得：t= 5分而MN= NC= 1+tSMNC= 1+t2= 1+t2当t= 时,SMNC=1+t2= 43不存在某一
8、时刻t,使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分4当MP=MC时如图1则有：NP=NC即PC=2NC4-t=21+t解得：t= 当CM=CP时如图2则有：1+t=4-t解得：t= 当PM=PC时如图3则有：在RtMNP中,PM2=MN2+PN2而MN= NC= 1+tPN=NC-PC=1+t-4-t=2t-3 1+t2+2t-32=4-t2解得：t1= ,t2=-1舍去当t= ,t= ,t= 时,PMC为等腰三角形点评：此题繁杂,难度中等,考查平行四边形性质与等腰三角形性质考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法4、直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从O点出发,
9、同时到达A点,运动停止点Q沿线段OA运动,速度为每秒1个单位长度,点P沿路线OBA运动1直接写出A、B两点的坐标；2设点Q的运动时间为t秒,OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式；3当S= 485时,求出点P的坐标,并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标分析：1分别令y=0,x=0,即可求出A、B的坐标；2因为OA=8,OB=6,利用勾股定理可得AB=10,进而可求出点Q由O到A的时间是8秒,点P的速度是2,从而可求出,当P在线段OB上运动或0t3时,OQ=t,OP=2t,S=t2,当P在线段BA上运动或3t8时,OQ=t,AP=6+10-2t=16-2t,作PD
10、OA于点D,由相似三角形的性质,得 PD=48-6t5,利用S= 12OQPD,即可求出答案；3令S= 485,求出t的值,进而求出OD、PD,即可求出P的坐标,利用平行四边形的对边平行且相等,结合简单的计算即可写出M的坐标解答：解：1y=0,x=0,求得A8,0B0,6,2OA=8,OB=6,AB=10点Q由O到A的时间是 81=8秒,点P的速度是 6+108=2单位长度/秒当P在线段OB上运动或Ot3时,OQ=t,OP=2t,S=t2当P在线段BA上运动或3t8时,OQ=t,AP=6+10-2t=16-2t,如图,做PDOA于点D,由 PDBO=APAB,得PD= 48-6t5S= 12O
11、QPD=- 35t2+245t3当S= 485时, 4851236点P在AB上当S= 485时,- 35t2+245t= 485t=4PD= 48-645= 245,AD=16-24=8AD= 82-2= 325OD=8- 325= 85P 85, 245M1 285, 245,M2- 125, 245,M3 125,- 245点评：本题主要考查梯形的性质与勾股定理在解题2时,应注意分情况进行讨论,防止在解题过程中出现漏解现象5.已知：如图,在直角梯形中,以为原点建立平面直角坐标系,三点的坐标分别为,点为线段的中点,动点从点出发,以每秒1个单位的速度,沿折线的路线移动,移动的时间为秒1求直线的
12、解析式；2若动点在线段上移动,当为何值时,四边形的面积是梯形面积的？3动点从点出发,沿折线的路线移动过程中,设的面积为,请直接写出与的函数关系式,并指出自变量的取值范围；ABDCOPxy6.如图,已知中,厘米,厘米,点为的中点1如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等,请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使与全等？2若点Q以中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在的
13、哪条边上相遇？AQCDBP四边形中的动点问题课后作业1.如图,已知AD与BC相交于E,123,BDCD,ADB90,CHAB于H,CH交AD于F. 1求证：CDAB；2求证：BDEACE；3若O为AB中点,求证：OFBE. 2、如图142l,在边长为a的菱形ABCD中,DAB60,E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,满足A ECF=a,说明：不论E、F怎样移动,三角形BEF总是正三角形3、在平行四边形中,为的中点,连接并延长交的延长线于点求证：；当与满足什么数量关系时,四边形是矩形,并说明理由4、如图l480,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,过点A作AG
14、EB,垂足为G,AG交BD于F,则OE=OF1请证明0E=OF2解答1题后,某同学产生了如下猜测：对上述命题,若点E在AC的延长线上,AGEB,AG交 EB的延长线于 G,AG的延长线交DB的延长线于点F,其他条件不变,则仍有OE=OF问：猜测所得结论是否成立？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由5、如图,在梯形中,动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒1求的长2当时,求的值ADCBMN3试探究：为何值时,为等腰三角形6. 如图所示,有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发,沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动.1试判断四边形PQEF是正方形并证明.2PE是否总过某一定点,并说明理由.3四边形PQEF的顶点位于何处时,其面积最小,最大？各是多少？7、已知：如图,ABC是
