《高中数学第三章不等式3.2基本不等式与最大小值学案北师大版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章不等式3.2基本不等式与最大小值学案北师大版必修5（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2基本不等式与最大(小)值【学习目标】1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大 (小)值问题3能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.ET问题导学知识点一基本不等式及变形思考使用基本不等式证明：2110, b0)，并说明什么时候等号成立.+a b梳理 以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件.2 a+ b/ a2 + b2当a0, b0时，有1ix/ab 2 ；当且仅当 时，以上三个-+匚7a b等号同时成立.知识点二用基本不等式求最值思考 因为X2+ 12x，当且仅当x= 1时取等号.所以当 x = 1时，(X2+ 1) min= 2.
2、以上说法对吗？为什么？梳理基本不等式求最值的注意事项(1) x, y必须是;(2) 求积xy的最大值时，应看和x+ y是否为;求和x + y的最小值时，应看积 xy是否为;(3) 等号成立的条件是否满足.使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值如果都不是定值，可能出错.题型探究类型一基本不等式与最值4例1 (1)若x0,求函数y = x+ -的最小值，并求此时 x的值;x3 设0x2,求x+的最小值;x 2 已知x0, y0,且19-+-= 1，求x + y的最小值.x y跟踪训练112已知x0,求f（x）=卜3x的最小值;X4已知x0, y0,且2x + 8y = xy,求x+ y的
3、最小值.类型二基本不等式在实际问题中的应用命题角度1几何问题的最值例2（i）用篱笆围一个面积为loo m的矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？跟踪训练2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 mi的造价为150元，池壁每1 m的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？ 最低总造价是多少？命题角度2生活中的最优化问题引申探究若受车辆限制，该厂最少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平
4、均每天所支付的费用最少？例3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为 1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天 3元，购买面粉每次需支付运费 900元.求该厂多 少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？跟踪训练3 一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达 B市，已知两地铁路线长 400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于20 2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要小时.当堂训练1 .已知 x|,则 f (x)=2x 4x + 52x 4A. 6.5 mB. 6.8 m#5B.最小值D.最小值15A.最大值2C.最大值12 将一根铁丝切
5、割成三段做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（）C. 7 mD. 7.2 m11 k3.设a0, b0,且不等式a+ b+07b恒成立，则实数 k的最小值等于()A. 0 B . 4 C . - 4 D . - 254 .已知0x0)的x单调性求得函数的最值.2 .求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.#一2 . 3xx + 3=1,#合案精析问题导学知识点一思考?ab11 12 11 “、 即10, b0），当且仅当占=b，即a= b时，等号成立.+a b梳理 2x，当且仅当x = 1时
6、取等号.仅说明抛物线y= X2+1恒在直线y = 2x上方，仅在x=1时有公共点.梳理正数 （2）定值定值题型探究(1)当 x0 时,42当且仅当x= -，即x2 = 4, x= 2时取等号.x4函数y= x + x（x0）在x= 2时取得最小值 4.x3/ 0x0,y = 4X(3 2x) = 22 x(3 2x)2x2 92= 2.3当且仅当2x = 3 2x,即x= 4时，等号成立.3 9函数y= 4x(3 2x)(00, y0, x + y = 1, x + y= x + - (x + y) = y + 9x+ 10 x yx y 6+ 10= 16,当且仅当=雯，又丄+ y= 1,x
7、 y， x y ，即x = 4, y= 12时，上式取等号.故当x= 4, y = 12 时，(x+ y) min= 16.19方法二 由-+ - = 1,得(x 1)( y 9) = 9(定值).x y19由-+ = 1 可知 x1, y9,x y二 x + y= (x 1) + (y 9) + 102 x1 y 9 + 10= 16,x 1= y 9 = 3,即x = 4, y = 12时上式取等号,当且仅当故当x= 4,y = 12 时，(x + y) min= 16.跟踪训练1解 (1) x0, f(x) =12 + 3x2x-3x = 12,当且仅当3x =咚，即卩x = 2时取等x
8、口号, f(x)的最小值为12. x3, x 30, y0,. x 80, y= x82xx + y= x+x8 = x+?xlb + 16x8 X1 X2V 0, X1X2225,X1X2#=(x 8) + 吕 + 102 寸 x 8 Xx68+ 10= 18.当且仅当x 8=，即x = 12时，等号成立.x 一 8- x + y的最小值是18.8 2 方法二 由 2x+ 8y xy= 0 及 x0, y0，得-+ y= 1. x + y= (x + y)8y 2x8y 2x=+10 2 + 10= 18.x y, x y当且仅当型=空，即卩x= 2y = 12时等号成立.x y- x +
9、y的最小值是18.例2解(1)设矩形菜园的长为 x m,宽为y m, 则xy = 100,篱笆的长为 2( x+ y) m.由x-| ,xy，可得 x + y2 100, 2( x + y) 40.当且仅当x= y= 10时等号成立.所以这个矩形的长，宽都为 10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.2xy m. 设矩形菜园的长为 x m宽为ym,则2(x+ y) = 36, x+ y= 18,矩形菜园的面积为x + y 18由，xy = = 9，可得 xy 240 000 + 720 X 2=297 600(元),当且仅当x= 1600，即x= 40时，y取得最小值297 600. x2
10、97 600 元.所以水池底面为正方形且边长为40m时总造价最低，最低总造价为例3解 设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.由题意可知，面粉的保管及其他费用为3X 6 x+ 6(x 1) + 6(x-2) + + 6X 1 = 9x( x + 1).设平均每天所支付的总费用为y元，小 1900则 y = 9x(x + 1) + 900 + 6X 1 800 = 9x+ 10 809xx900一 29x x- + 10 809 = 10 989(兀),当且仅当9x = 900，即x= 10时，等号成立.x所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.引申探究解 设 X1, X2 15 ,+)，且 X1 X2.则(9x1+900 + 10 809) (9x2+900X2+ 10 809)=9(X1 X2)+ 900( 1 * =(X1-X2) 9型、 X1X2 ；iX1X2 900 =(X1 X2)X1X2T 15W X1V X2,9X1X2 900V 0,即 y = 9x+900x卜10 809在15 ,+s）上为增函数.当x= 15,即15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少.跟踪训练38解析 设这批货物从 A市全部运到B市的时间为t，则400+ 16t =一16v40016v4
