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1、4.5 递归算法与递归程序（一、二）教者：吴艳超 时间：一、课程内容标准：递归算法与问题解决：1、了解使用递归法设计算法的基本过程2、能够根据具体问题的要求，使用递归设计算法、编写递归函数、编写程序、求解问题例1 写出两个正整数乘积mn的递归函数。例2 汉诺塔问题：传说在古代印度的贝拿勒斯圣庙里，安放一块黄铜板，板上插了三根宝石柱，在其中一根宝石柱，自上而下按由小到大的顺序串有64个金盘。这就是汉诺塔游戏。要求将左边柱子上的64个金盘按照下面的规则移到右边的柱子上。规则：（1）一次只能移动一个盘子（2）盘子只能在三个柱子上存放。（3）任何时候大盘不能放在小盘上面。二、教学目标1、知识与技能(1
2、)认识递归现象。(2)使用递归算法解决问题往往能使算法的描述乘法而易于表达(3)理解递归三要素：每次递归调用都要缩小规模；前次递归调用为后次作准备：递归调用必须有条件进行2、方法与过程：本节以斐波那契的兔子问题引入，通过发现先后三个月兔子数量的变化规律入手，导出了F（N）=F(N-1)+F(N+2)(N3)递推式。马上介绍斐波那契问题的非递归解决方法，如果加以恰当引导，把两个解法对比，会出现效率高的需要较多的经验和技艺才能写出程序，而程序相对容易写出的是在运行时，但效率却不够高。（在调试程序4-16时可逐步加大月数N，会发出N=40时，明显感觉等待的时间较长，而当N=200时，等待的时间会遥遥
3、无期。）汉诺塔问题是一个经典问题，它著名在使用了递归解法来解决问题。理解这个递归解法是重点，也是难点。3、情感态度和价值观结合高中生想象具有较强的随意性、更富于现实性的身心发展特点，综合反映出提升学生在各个领域的计算机应用水平，提高学生交流和讨论，自己总结获得新的知识能力，培养学生正确寻找解决问题的方法和正确的学习方法。三、重点难点1、教学重点（1）了解递归现象和递归算法的特点。（2）能够根据问题设计出恰当的递归程序。2、教学难点(1)递归过程思路的建立。(2)判断问题是否适于递归解法。(3)正确写出递归程序。四、教学环境1、教材处理教材选自广东省普通高中信息技术选修一：算法与程序设计第四章第
4、五节，原教材的编排是以本节以斐波那契的兔子问题引人，导出递归算法，从而自定义了一个以递归方式解决的函数过程。然后利用子过程解决汉诺塔的经典问题。教材经处理后，让同学们玩汉诺塔的游戏，导入递归问题，从用普通程序解决斐波那契的兔子问题入手，引导学生用自定义了一个以递归方式解决的函数过程解决问题，同时让同学们做三个递归练习，巩固提高。然后让学生做练习(2)和练习(3)，这两道题目的形式相差很远，但方法和答案却都是完全相同的练习，体会其中的奥妙，加深对递归算法的了解。最后用子过程解决汉诺塔的经典问题。教学方法采用讲解、探究、任务驱动和学生自主学习相结合2、预备知识学生已掌握了用计算机解决问题的过程，掌
5、握了程序设计基础，掌握了解析法、穷举法、查找法、排序法设计程序的技巧。3、硬件要求建议本节课在多媒体电脑教室中完成，最好有广播教学系统或投影仪，为拓展学习，学生机应允许上互联网。五、教学过程导入：大家玩汉诺塔游戏： 图4-5(1)汉诺塔游戏的部分界面这个游戏盘子在A、B、C三根柱子上不停运动，有没有规律，和你在照过镜子时遇到的情况相同吗？当你往镜子前面一站，镜子里面就有一个你的像。但你试过两面镜子一起照吗?如果甲、乙两面镜子相互面对面放着，你往中间一站，嘿，两面镜子里都有你的千百个“化身”!为什么会有这么奇妙的现象呢?原来，甲镜子里有乙镜子的像，乙镜子里也有甲镜子的像，而且这样反反复复，就会产
6、生一连串的“像中像”。这是一种递归现象。由同学们总结出递归算法的概念递归算法：是一种直接或者间接地调用自身的算法。在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。问题4-16：著名的意大利数学家斐波那契(Fibonacci)在他的著作算盘书中提出了一个“兔子问题”：假定小兔子一个月就可以长成大兔子，而大兔子每个月都会生出一对小兔子。如果年初养了一对小兔子，问到年底时将有多少对兔子? (当然得假设兔子没有死亡而且严格按照上述规律长大与繁殖)我们不难用以前学过的知识设计出如下算法： 输入计算兔子的月份数：n If n 3 Then c = 1 Else
7、 a = 1: b = 1 i = 3 c = a + b：a = b：b = c i=i+1,如果in则返回 结束参考程序如下：Private Sub Command1_Click() n = Val(Text1.Text) If n =3 )F ( 1 ) = F ( 2 ) = 1这是因为每月的大兔子数目一定等于上月的兔子总数，而每个月的小兔子数目一定等于上月的大兔子数目(即前一个月的兔子的数目)。由上述的递推式我们可以设计出递归程序。递归程序的特点是独立写出一个函数(或子过程)，而这个函数只对极简单的几种情况直接给出解答，而在其余情况下通过反复的调用自身而把问题归结到最简单的情况而得到
8、解答。空中加油站：自定义函数的定义格式:Function procedurename(arguments) As typeStatementsEnd Function其中的procedurename是函数名，arguments是函数中的参数表，type是函数返回值的数据类型，表示可有可无的部分，statements是过程中的代码调用函数的格式：procedurename(arguments)(3)编写程序。窗体中开设一个文本框Textl用于填人月数N，设置命令框Commandl，点击它即执行程序求出第N月的兔子数。然后用文本框Text2输出答案。根据递推式可以写出递归程序如下： Functio
9、n Fib(ByVal N As Integer) As Long If N 3 Then Fib = 1 Else Fib = Fib(N - 1) + Fib(N - 2)End FunctionPrivate Sub Command1_Click() N = Val(Text1.Text) Text2.Text = 第 & N & 月的兔子数目是： & Fib(N)End Sub (4)调试程序因为这个算法的效率不高，建议在调试程序时月份数不要大于40。图4-5(4)斐波那契兔子程序运行结果图 (5)检测结果挑战自我：（以下部分由学生自己完成）(1)利用递归方法编写一求N的阶乘。分析：根
10、据N!=N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*3*2*1可以推出下列式子：F = n * F(n - 1)这是一个典型的递归算法，参考程序如下：Function F(ByVal n As Integer) As Long If n = 1 Then F = 1 Else F = n * F(n - 1)End FunctionPrivate Sub Form_Click() Dim n As Integer n = Val(InputBox(请输入正整数N：, 求N的阶乘) Print 输入的正整数是; n; Print ，阶乘是; F(n)End Sub图4-5(5)求阶乘程序的运行结果图
11、 (2)对一正整数N，用数字l和2组成一条加法算式，使其和为N，共可以列出多少条不同的式子？(“l+2”和“2+1”看作是不同的式子)。算法设计：假设和为N时可列式子的方法数是F(N)，那么第一个加数可选择1或2。当第一个加数为1时剩下加数的和为N一1，故方法数为F(N一1)；当第一个加数为2时，剩下加数的和为N-2，故方法数为F(N-2)。于是可以得到如下式子：F = F(n - 1) + F(n - 2)这是一个典型的递归算法，参考程序如下：参考程序如下：Function F(ByVal n As Integer) As Long If n = 2 Then F = n Else F =
12、F(n - 1) + F(n - 2)End FunctionPrivate Sub Form_Click() Dim n As Integer n = Val(InputBox(请输入正整数N：, 输入式子的总和) Print 当总和是; n; 时 Print 可以列出不同的由1和2组成的加法式子; F(n); 条End Sub图4-5(6)书上P136练习2程序运行结果图 (3)罗光明在上楼梯时，有时一步一级楼梯，有时一步两级。如果楼梯有N级，他上完这N级楼梯有多少种不同的方法？设计算法假设楼梯级数为N时的方法数是F(N)，那么第一步可选择1或2级楼梯。当第一步为1级时剩下楼梯的级数为N-1，故方法数为F(N-1)；当第一步为2级时，剩下楼梯的级数为N-2，故方法数为F(N-2)。于是可以得到如下式子：F=F(n-1)+F(n-2)这是一个典型的递归算法，参考程序如下：程序如下：Function F(ByVal n As Integer)As Long If n=2 Then F=
