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1、第1节静矩和形心4.1静矩和形心任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关,而且与构件截面的几何形状和尺寸有关.女口：计算杆的拉伸与压缩变形时用到截面面积A，计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩I胃等.面的几何特性，因此称它们为截面图形的几何性质.4.1静矩和形心?等是从不同角度反映了截设有一任意截面图形如图41所示，其面积为A选取直角坐标系yoz，在坐标为（y,z）处取一微小面积dA，定义微面积dA乘以到y轴的距离z，沿整个截面的积分，为图形对y轴的静矩S，其数学表达式(4-1a)同理，图形对z轴的静矩为(4-1b)截面静矩与坐标轴的选取有关，它随坐标轴的量纲为长度的三次方.z的不
2、同而不同所以静矩的数值可能是正，也可能是负或是零静矩确定截面图形的形心位置（图4-1中C点）：(4-2a)式中z为截面图形形心的坐标值若把式（4-2）改写成zdA工=G*A-1(4-2b)(4-3)性质:?若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心.?若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零.?由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零4）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形（如矩形、圆形等）组合而成的对于这样的组合截面图形，计算静矩（S=）与形心坐标（y“、z）时，可用以下公式W*禺二迟砧思=艺吻”(4-4)
3、am旦亠=(4-5)U11-1式中A，y,zi分别表示第*个简单图形的面积及其形心坐标值，n为组成组合图形的简单图形个数.即:组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和.组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的.例4-1已知T形截面尺寸如图4-2所示，试确定此截面的形心坐标值.图4-2（1）选参考轴为y轴，z轴为对称轴,将图形分成I、两个矩形，则=SOxIOOjmm3=00+MOJfmjw赴二20x140删莎f花二70翊代入公式（4-5）2竺1=如如=竺巴竺竺竺乂隔歸20x10
4、0+20x1404.2惯性矩、惯性积和惯性半径设任一截面图形（图43），其面积为A选取直角坐标系yoz，在坐标为（y、z）处取一微小面积dA，定义此微面积dA乘以到坐标原点o的距离的平方a，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩I微面积dA乘以到坐标轴y的距离的平方E,沿整个截面积分为截面图形对y轴的惯性矩”极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩.数学表达式为极惯性矩严(4-6)对y轴惯性矩0=护必(4-7a)同理，对z轴惯性矩(4-7b)图4-3由图4-3看到。二戸+2，所以有dA(4-8)在任一截面图形中式（48）说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。（图43），取微
5、面积dA与它的坐标z、y值的乘积，沿整个截面积分，定义此积分为截面图形对z轴的惯性积，简称惯积表达式为(4-9)惯性矩、极惯性矩与惯性积的量纲均为长度的四次方.亡，1童，1声恒为正值.而惯性积1代其值能为正，可能为负，也可能为零.若选取的坐标系中，有一轴是截面的对称轴，则截面图形对此轴的惯性积必等于零.当截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积等于零时，称此对坐标轴为截面图形的主惯性轴对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩而通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴（或称主形心惯轴）截面对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩（或称主形心惯矩）例如，图4-4中若这对yz轴通过截面形心，则它们就是形心主惯性轴对这两
6、个轴的惯性矩即为形心主惯性矩.U4-4工程应用中（如压杆稳定中），有时将惯性矩表示成截面面积与某一长度平方的乘积，即或写成式中亠分别称为截面图形对y轴、z轴的惯性半径其量纲为长度的一次方.例4-2已知矩形截面的尺寸b,h（图4-5），试求它的形心主惯性矩.解：取形心主惯性轴（即对称轴）y,z，及dA=dy血，代入公式（I7a，右）得同理:Aji?h=伽=2212例4-3设圆的直径为D（图4-6），试求图形对其形心轴的惯性矩及惯性半径值.解：（1）求惯性矩因为图形对称,y,z为对称轴，所以I=I-这是较简单的解法本例也可取出图4-6上的微面积dA，按积分法来求得。n（2）求惯性半径图4-6第3节
7、惯性矩、惯性积的平行移轴公式4.3惯,性矩、惯性积的平行移轴公式设任一截面图形（图4-7）对其形心轴Y“，Z的惯性矩丄=1已知.有另一对坐标轴y,z分别平行y轴。两平行轴间距分别为b现讨论截面对这两平行坐标轴的惯性矩之间的关系.根据定义.截面对形心轴的惯性矩、惯性积分别为2dA,I同样，截面对y,z轴的惯性矩、惯性积分别为A因为则上式简化为同理(4-12)由图4-7，代入（b）的第一式可知，z=z-=+屏1二厶+沪月f=十血j(4-11)Jz.rc4=%=ii,丿-A.）称为惯性矩、惯性积的平行移轴公式即截面图形对某轴的惯性矩，等于它对与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上两公式（4-11轴间距离的
8、平方乘以截面面积，截面圆形对任一正交轴系的惯性积，等于它对与该轴系平行的形心轴系的惯性积，加上两坐标系轴间距的乘积再乘以截面面积式（411）中前二式恒为正，第三式中a,b均为代数值，故严可正、可负或为零.组合截面图形的惯性矩和惯性积可用下面公式来计算-A42务+rkrkEi-lksM-*-4Za+分别表示每个简单图形对自身形心轴的惯性矩、惯性积.分别表示每个简单图形的形心坐标轴到组合图形y,z轴的距离.AL表示各简单图形的面积.例4-4已知截面图形尺寸如图4-8所示，试求图形对水平形心轴的惯性矩IF.解：将图形分成三个小矩形、.（2）选参考轴在的形心上.由公式（I5）求形心因为z是对称轴，故2
9、3050xO+30x225x(4y)+130x50x(25+225+255230x50+30x225+180x50=124.89由公式（I12）第一式计算I150*+1501?x130x50=4.16xl094=4.16x10聊41Z图4-8宵g黑-S4.4惯性矩，惯性积的转轴公式设任一截面图形（图4-9）对坐标轴y,z轴的惯性矩、惯性积为。若将坐标轴y,z绕其原点o旋转一角（盘以逆时针转为正，顺时针转为负，图4-9的氓为正），得到新的坐丁71III标轴此时，图形对ylf】轴的惯性矩与惯性积为|只勿店1.现研究严补珂与川*刃和之间的关系。在图中任取一微面积dA，它在yoz坐标系的坐标为（y,z
10、），在y坐标系的坐标为（y1）.由图有几何关系pc右s抚十工winZx=工匚OCCf-jrfilil（a）按定义川=.7n=.A；必，皿=(b)将(a)式分别代入(b)式，利用三角函数关系Mil彳口=(lCOS2(2f)Iy十匚/m-ISAn=七丄+七二af二丄旦一丄土迹2&+匚如N畀22卑(4-13)(4-13)式即为惯性矩和惯性积的转轴公式.它反映了惯性矩、惯性积随a而改变的规律.将式(113)的前两式相加，可得(4-13)的第三式.I随a而改变，当=0时，相应的坐标轴为主惯性轴,由此求得表示，即卩sin2闵+cos2%02(c)(4-14)表示了主轴的方位角.(4-14)代入转轴公式(4
11、-13)第一、第二式，运算时利用三角函数关系可以求得截面图形的主惯性矩若将公式(4-13)的第一式对比求一阶导数且令其为零，即可得到惯性矩的极值，即叫=-2乞土sin2a十cos2(t二02卩可见，上式与(c)式一致这说明由公式(4-15)求得的主惯性矩就是截面图形的最大或最小惯性矩例4-5已知截面图形尺寸如图4-10所示。试求其形心主惯性矩严解：(1)确定形心位置由于截面是反对称的，所以形心在其对称中心C点。以C点为原点，取坐标轴y，z如图所示.(2)将截面分成三个小矩形、。(3)由式(4-12)计算惯性矩、惯性积/i-112=5.08x10丈+和=Ml10x60312+35axCQxlOx
12、2+=1.84XIO6JMJK4.=2+4=(-35)x55x60x10+35k(-55)x60x101=-2.31x10*由式(4-14)确定形心主轴的方位2x(-231)xlO6(5.08-1.84)x10*二1426由于5丿J,所以图形对绝对值较小的所确定的形心主轴的惯性矩为最大值，另一轴的惯性矩为最如图4-10所示的图形，对yo轴的形心主惯性矩为最大值，对zo轴的形心主惯性矩为最小值。由公式（4-15）计算形心主惯性矩(-2.3C2xlO61(5.03+1.34)X10*+l(5.08-1.84)a+4xxlOd4222x10s=6.2BxlOeV=3.46J2=(3.46-282)xlL=0.64x10石唧异=KUti
