《南京大学考研量子力学试题2001》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南京大学考研量子力学试题2001（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、南京大学2001年硕士研究生入学考试试题量子力学专业：理论物理、凝聚态物理、光学等一、有一质量为的粒子处于长度为a的一维无限深势阱中V（x）=Xa，在t=0时10,0xa刻，粒子的状态由波函数中C）=0,xaAx(a-x),0x0时刻的波函数的级数表达式。提示：工丄上n496n=l,3,5能量为E的粒子从x=Y）二、考虑势能为V（x）=V0x0的一维系统，其中V为正常数。若0,x00处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E的所有可能值。（20分）三、有一质量为的粒子，在一维谐振子势场vs22x2中运动。在动能t=的非相对论极限下，基态能E0=2，基态波函数为卜）=；exp“-x2。考虑T与
2、p1的关系的相对论修正，计算基态能级的移动E至一阶。（c为光速）（20分）c2四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。（20分）提示：电子质量mc2=0.511MeV,c沁197MeV-fm，晶格常数a1A1五、考虑自旋S二-的系统，21. 求算符T=aSbs的本征值和归一化本征波函数；（a、b为实常数）yz2. 若此时系统正处在T的某一个本征态上，求此时测量S结果为的几率。（20分）y”2南京大学2002年硕士研究生入学考试试题量子力学、一维自由粒子的状
3、态由波函数x）=sin2kx+fcoskx描述。求粒子的动量平均值和动能平均值。（20分）、粒子被约束在半径为r的圆周上运动1）设立“路障”进一步限制粒子在0vv的一段圆弧上运动，即VG）二;0，0。，03,vv2的粒子处于一维谐振子势V（x）=卩2x2中运动，为谐振子的本征振动频率。如果t二0时，该粒子处于态中（x,0）=J評（x）+即（x），其中/（x）和中（x）分别为一维谐振子的基30202态和第二激发态的能量本征波函数，C为待定常数且c0。1）根据归一化条件，求待定常数c；（5分）2）求t时刻粒子所处的状态中（x,t）；（5分）3）求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率；（
4、10分）4）求粒子能量的平均值；（5分）15）若在t=时刻，粒子所处的势场突然变为V（x）二32X2,求粒子在时刻处于新的势场V（x）的第一激发态的几率。（5分）、一根长为l的无质量的绳子一端固定，另一端系质点m。在重力作用下，质点在竖直平面内摆动，3）写出质点运动的哈密顿量；（30分）2）在小角近似下求系统的能级；（30分）3）求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。（30分）提示：质量为m，本征频率为的一维谐振子的基态波函数为中（x）=Cexp-3a2x2，其中C是0I2丿归一化常数，+exp-三、质量为的粒子从左向右作一维运动，穿越了一个宽度为a，高度为V0的一维势垒”0|x|
5、“a/2V（x丿,。设粒子的能量E“V。试求发生共振透射（即透射系数为1）的条件。（30VIxI-a/2o0分）四、两个自旋为1/2的粒子组成的系统由哈密顿量H=A（S+S）+BS衣描述，其中S和分别是两个3z2z323粒子的自旋，而S和S则分别是这两个粒子自旋的z分量，A和B是实常数。求该哈密顿量的所有1z2z能级。（30分）”0IxI-a/2五、一个质量为，带电荷为q的粒子，束缚在宽度为a的一维无限深势阱V,x）=中运IxI“a/2动。如果在入射光的照射下，该粒子能在不同能级间发生偶极辐射跃迁，求跃迁的选择规则。（30分）六、两个粒子被束缚在一个边长为a“b“c的长方体盒子中运动，粒子间的
6、相互作用势能为VG,x）=A8,X-无）可以作为微扰，其中x和元分别为两个粒子的坐标，A为实常数。分别就以121212下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准至A的一次方。1）两个粒子为自旋为零的全同玻色子；（15分）2）两个粒子为自旋为1/2的全同费米子，且这两个粒子的自旋平行（即总自旋为1）。（15分）南京大学2004年硕士研究生入学考试试题量子力学一、已知电子质量为，电子电量为（-e）,回答以下问题：1）一个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；（5分）2）五个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑相互作用，请写出该体系的基
7、态和第一激发态的能级公式。（10分）13）一个电子处于一维谐振子势场22x2中运动，其中是谐振子的本征园频率，x是电子的坐标，请写出该体系的能级公式。（5分）4）如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动，并且假定电子恰好处在某个能量本征态上，求电子的坐标和动量的平均值，这些平均值随时间变化么？（10分）5）请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数，这里假定原子核是不动的；（10分）e26）假定氢原子处于基态，求电子势能-一的平均值，其中r是电子的径向坐标。（10分）r二、假定电子的波函数在球坐标体系下写为：（r,0,）二（eisin0+cos0）g（r），其中g（r）仅是径向坐标r的函数。1
8、）求角动量平方L的可能测量值和相应的几率；（10分）2）求角动量的z分量L的可z能测量值和平均值。（10分）三、S代表电子的自旋算符，n=（sin0cos,sin0sin,cos0）为从原点指向单位球面上（0,）方向上的单位向量，其中0是纬度，是经度。1）在（S2,S）表象下求自旋S在n方向上的投影S=n-S的本征值和相应的本征波函数。（10分）zn2）假定电子处于S的某个本征态，那么测量S会得到哪些数值，相应的几率是多少，测量S的平nzz均值又是多少？（10分）四、一个质量为m,无电荷但自旋为1/2，磁矩为=，斗s的粒子在一维无限深势阱0；V(x)=+8；xL中运动，其中叫和L是正常数，X是
9、粒子的坐标，S是粒子的自旋算符。现在考虑在x0的半空间有一同样大小但沿x方向的均匀磁场。在弱磁场极限下用微扰论找出体系基态的能级和波函数，并指出B能作为弱磁场处理的具体条件。（微扰只须计算到最低阶，自选空间的波函数在Pauli表象下写出。）（30分）五、一个质量为m的无自旋的粒子在三维情形下与一个球对称势V（r）=（r-a）作用，其中C，a为正常数，r是径向坐标，为了保证该体系至少有一个束缚态存在，试问C的值最小可以取多少？（30分）21六、一个质量为m的无自旋的粒子受到中心势V（r）二-的散射，其中a是常数。已知方ma2cosh2（r/a）程dy+k2y+y=0有解y二e戯（tanhx+ik
10、），在低能极限下，求粒子能量为E时，s分波的散dx2cosh2x射截面及其角分布。（30分）南京大学2005年硕士研究生入学考试试题一量子力学专业：理论物理，凝聚态物理一、问答题1、试述量子态的叠加原理。(5分)讨论自由粒子的波函数是否一定是平面波？问什么？(5分)2、为什么波函数中(x,t)必定是复数？(5分)一维定态薛定谔方程的解(x)是否也必定是复数？(5分)3、以下的波函数是否代表同一个量子态，并说明为什么：(1) 、(x,t)和e岬(x,t)，其中p是实常数；(5分)(2) 、中(x,t)和eip(z)中(x，t)，其中p(x)是实函数。(5分)4、为什么力学量算符A应是线性厄米算符
11、？(10分)5、为什么全同粒子的波函数对于粒子的交换应是对称或反对称的？(10分)0;xa其中a是正实数，求解定态薛定谔方程。(20分)1o三、质量为,的粒子在一维势场中运动，势能为：V(x)=2，g;x0区V(x)为谐振子势能，求解基态的能量和归一化的波函数。(20分)四、设质子是半径为R的薄球壳，其电荷e均匀分布在球壳表面上。对于氢原子，以电子所受势能偏离质子为点粒子模型时的值为微扰，求氢原子第一激发态能量的一级修正E(1)(积分公式列出后不必计算)。2(20分)e-五、中子有内禀磁矩：M二-gS，其中g=1.9,M为中子质量。当自旋在z方向向上极化的中子束，Mc沿x轴作一维运动时，在x0
12、区域存在恒定磁场B，其方向沿z方向。若能量e右BEg，求解中子的一维散射运动。(20分)2Mc0;0xa六、求两个关在一维无穷深势阱V(x)二n(a为正常数)xa中，并以接触势U(x,x)=d(x-x)(d1)相互作用的全同中子系统的零级近似归一化波函数1212(考虑自旋态)，并以接触势为微扰，求准到一次方的基态能量。(20分)考试科目名称及代码量子力学丿2适用专业.理论场理#糕聚态场理等注意：1 所有答案必须写在研究生入学考试答题纸上，写右2 本科目不允许使用无字典存储和编程功能金可能有用的教学公扎:L球常由救匕（仇卩）石3心十sir8龙崩）必宀sinOcos8龙心（&小15.元：sin2&exp(2,0)2、境量为“，0B嫩卒为力飾-*维谱报孑的能壬*(1、expa2x2Hn(ax),鑽量为“的农子盞势场r(x)=一加运动，其中乙去Q那爰正需教象以下问:1) 求确岌隶缚能的裹达式;2) 要形成東缚&所须要的最小人华旻多少？二. 己知一个會建的系统，处于的本曲本從态，其中S是勺我算符.片是X2平而氏成0角的单住矣量回苗収下问趨：1) $工取值三的几序旻多少？r-厶2) S,的沟方洙落辽严&：)门曼步才:()去示求年均丿厶二,丄-亍=三r量为“的卷子疫中场的中运动。无穷运唤于零。己知子的-个能量本孤*exp(_a)cos0,其中C和0是卖常就下冋：HXV/-加
