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1、第一讲 平面、空间两条直线知识梳理1.平面的基本性质，即三个公理及推论. 1）公理1：如果一条直线上两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这条直线上。 公理1的作用： 它是用直线鉴别平面的方法。 它是证明直线在平面内的重要依据。2）公理2：如果两个平面有一个公共点，那么有且只有一条通过这个点的公共直线。公理2的作用：它是辨别两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过交点。它是判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。3）公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2：
2、经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有切只有一个平面。公理3及推论的作用：它是在空间中确定平面的依据。它是证明两平面重合的依据。它为立体几何问题转化成平面几何问题提供了理论依据和具体方法。2.公理4及等角定理. 公理4：平行于同一直线的两直线平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边平行且方向相同，那么这两个角相等。3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面.4.两条异面直线所成的角及距离，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点。点击双基1.若a，b是异面直线，则只需具备的条件是A.a平面，b平面，a与b不平行B.a平面，b平面，=l，a与b无公
3、共点C.a直线c，bc=A，b与a不相交D.a平面，b 是的一条斜线答案：C2.如下图，直线a、b相交于点O且a、b成60角，过点O与a、b都成60角的直线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析：在a、b所确定的平面内有一条，平面外有两条.答案：C3.（2004年北京朝阳区模拟题）如图，正四面体SABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是A. B. C. D.解析：取AC的中点E，连结DE、BE，则DESA，BDE就是BD与SA所成的角.设SA=a，则BD=BE= a，DE= a，cosBDE= .答案：C4.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a， 那么（1）哪些
4、棱所在直线与直线BA1成异面直线？_.（2）直线BA1与CC1所成角的大小为_.（3）直线BA1与B1C所成角的大小为_.（4）异面直线BC与AA1的距离为_.（5）异面直线BA1与CC1的距离是_.答案：（1）D1C1、D1D、C1C、C1B1、DC、AD （2）45 （3）60 （4）a （5）a5.（2002年全国）正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是_.解析：连结FE1、FD，则由正六棱柱相关性质可得FE1BC1，在EFD中，EF=ED=1，FED=120，FD=.在EFE1和EE1D中，易得E1F=E1D
5、=，E1FD是等边三角形，FE1D=60.而FE1D即为E1D与BC1所成的角.答案：60说明：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成角的求法.典例剖析【例1】 如下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFC=23，DHHA=23.求证：EF、GH、BD交于一点.证明：连结GE、HF，E、G分别为BC、AB的中点，GEAC.又DFFC=23，DHHA=23，HFAC.GEHF.故G、E、F、H四点共面.又EF与GH不能平行，EF与GH相交，设交点为O.则O面ABD，O面BCD，而平面ABD平面BCD=BD.EF、GH、BD交于一点.评述：证明线共
6、点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.【例2】 A是BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，（1）求证：直线EF与BD是异面直线；（2）若ACBD，AC=BD，求EF与BD所成的角.（1）证明：用反证法.设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.（2）解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角.在RtEGF中，求得FEG=45，即异面直线
7、EF与BD所成的角为45.特别提示证明两条直线是异面直线常用反证法；求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）证算”.注意，异面直线所成角的范围是（0，.【例3】 长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且ab，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C.（2）异面直线D1B与AC所成角的余弦值.（1）解：BC为异面直线AB与CC1的公垂线段，故AB与CC1的距离为b.AA1为异面直线AB与A1C1的公垂线段，故AB与A1C1的距离为c.
8、过B作BEB1C，垂足为E，则BE为异面直线AB与B1C的公垂线，BE=，即AB与B1C的距离为. （2）解法一：连结BD交AC于点O，取DD1的中点F，连结OF、AF，则OFD1B，AOF就是异面直线D1B与AC所成的角.AO=，OF= BD1=，AF=，在AOF中，cosAOF=.解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连结BG、D1G，则ACBG，D1BG（或其补角）为D1B与AC所成的角.BD1=，BG=，D1G=，在D1BG中，cosD1BG=，故所求的余弦值为.深化拓展利用中位线平移和利用补形平移是处理长方体中异面直线所成角的重要方法.闯关训练夯实基础1.两条相交直线
9、l、m都在平面内且都不在平面内.命题甲：l和m中至少有一条与相交，命题乙：平面与相交，则甲是乙的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件解析：若l和m中至少有一条与相交，不妨设l=A，则由于l，A.而A，与相交.反之，若=a，如果l和m都不与相交，由于它们都不在平面内，l且m.la且ma，进而得到lm，与已知l、m是相交直线矛盾.因此l和m中至少有一条与相交.答案：C2.（2004年天津，6）如下图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于 A. B. C.
10、D.解法一：取面CC1D1D的中心为H，连结FH、D1H.在FHD1中，FD1=，FH=，D1H=.由余弦定理，得D1FH的余弦值为.解法二：取BC的中点G.连结GC1FD1，再取GC的中点H，连结HE、OH，则OEH为异面直线所成的角.在OEH中，OE=，HE=，OH=.由余弦定理，可得cosOEH=.答案：B3.如图，四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=2，EFAB，则EF与CD所成的角等于_.解析：取AD的中点G，连结EG、FG，易知EG=1，FG=.由EFAB及GFAB知EFFG.在RtEFG中，求得GEF=30，即为EF与CD所成的角.答案：304.（20
11、03年上海）在正四棱锥PABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60，则异面直线PA与BC所成角的大小等于_.（结果用反三角函数值表示）答案：arctan25.如下图，设不全等的ABC与A1B1C1不在同一平面内，且ABA1B1，BCB1C1，CAC1A1.求证：AA1、BB1、CC1三线共点.证明：不妨设ABA1B1，AA1BB1=S，BCB1C1，BB1面BCC1B1，S面BBC1B1.同理，S面ACC1A1.SCC1，即AA1、BB1、CC1三线共点于S.6.在三棱锥ABCD中，AD=BC=2a，E、F分别是AB、CD的中点，EF=a，求AD与BC所成的角.解：取AC的中点M，连结ME
12、、MF，则MEBC，MFAD，所以EMF（或其补角）是直线AD与BC所成的角.在EMF中，ME=BC=a，MF=AD=a，EF=a，cosEMF=，EMF=120，因此异面直线AD与BC所成的角为60.培养能力7.如下图，在三棱锥PABC中，AB=AC，PB=PC，E、F分别是PC和AB上的点且PEEC=AFFB=32.（1）求证：PABC；（2）设EF与PA、BC所成的角分别为、，求证：+=90.证明：（1）取BC的中点D，连结AD、PD.则BC平面ADP，AP平面ADP，APBC.（2）在AC上取点G，使AGGC=32，连结EG、FG，则EGPA，FGBC，从而EGF为PA与BC所成的角，
13、由（1）知EGF=90，而GEF、GFE分别是EF与PA、EF与BC所成的角、，+=90.8.如下图，设ABC和A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O，且= .试求的值.解：依题意，因为AA1、BB1、CC1相交于一点O，且=，所以ABA1B1，ACA1C1，BCB1C1.由平移角定理得BAC=B1A1C1，ABC=A1B1C1，ABCA1B1C1，所以=（）2=.说明：利用平移定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题.探究创新9.如下图，已知空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，MN=7，求异面直线AC与BD所成的角.解：取BC的中点E，连结EN、EM，MEN是异面直线AC与BD所成的角或其补角.在EMN中，EN=3，EM=5，MN=7，cosMEN=，MEN=120.异面直线AC与BD所成的角是60.思悟小结1.本节重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角.2.证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点作它们的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形.
