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1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案）选修2-31.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为（）A.182B.14C.48D.91答案C解析由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6X8=48,故选C.2.从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为（）A.13种B.16种C.24种D.48种答案A解析应用分类加法计数原理，不同走法数为8+3+2=13（种）.故选A.3.集合A=a,b,c,B=d,e,f,g,从集合A到集合
2、B的不同的映射个数是（）A.24B.81C.6D.64答案D解析由分步乘法计数原理得43=64,故选D.4.5本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法（）A.720种B.7776种C.360种D.3888种答案B解析每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成.由乘法原理知不同送书方法有65=7776种.5.有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是（）A.8种B.9种C.10种D.11种答案B解析设四个班级分别是A,B,C,D,它们的老师分别是a,b,c,d,并设a监考的是B,则剩下的三个老师分别
3、监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C,D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法.这样，用分类加法计数原理求解，共有3+3+3=9（种）不同的安排方法.另外，本题还可让a先选，可从B,C,D中选一个，即有3种选法.若选的是B,则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3X3X1X1=9（种）不同的安排方法.6.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从axxxxxxx0000”至Uaxxxxxxx9999”共10000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作
4、为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A.2000B.4096C.5904D.8320答案C解析可从反面考虑，卡号后四位数不带“4”或“7”的共有8X8X8X8=4096个，所以符合题意的共有5904个.7.如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A.26B.24C.20D.19答案D解析因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种方法：1253,1264,1267,1286
5、,故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3+4+6+6=19,故选D.8.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）A.42B.30C.20D.12答案A解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第1个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以不同的插法共6X7=42（种）.9.定义集合A与B的运算A*B如下：A*B=（x,y）|xA,yB,若A=a,b,c,B=a,c,d,e，则集合A*B的元素个数为（）A.34B.43C.12D.24答案C解析显然（a,a）、（a,c）等均
6、为A*B中的元素，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x,B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有3X4=12个元素.故选C.10.某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4,现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和X4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有（）A.16种B.15种C.14种D.13种答案C解析解决这类问题应分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题.试验方案有：消炎药为X1、X2,退烧药有4种选法；消炎药为X3X4,退烧药有3种选法
7、；消炎药为X3X5,退烧药有3种选法；消炎药为X4X5,退烧药有4种选法，所以符合题意的选法有4+3+3+4=14（种）.二、填空题11.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有个（用数字作答）.答案24解析可以分三类情况讨论：若末位数字为0,则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成12个五位数；若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排在前3位，且0不是首位数字，则共有4个五位数；若末位数字为4,则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不是首位数字，则共有8个五位数，所以符合要求的五位数共有24个.12.三边均为整
8、数且最大边长为11的三角形有.答案36解析另两边长用x,y表示，且不妨设1xy11.要构成三角形，需x+y12.当y=11时，x1,2，11，有11个三角形；当y=10时，x2,3,，10,有9个三角形当y=6时，x=6,有1个三角形.所以满足条件的三角形有11+9+7+5+3+1=36（个）.13.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有中.（用数字作答）答案48解析本题可分为两类完成：两老一新时，有3X2X2=12（种）排法；两新一老时，有2X3X3X2=36（种）排
9、法，即共有48种排法.14.已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能.在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有中.答案16解析五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通；所以共有1+5+8+2=16种情况能使电路接通.三、解答题15.有不同的红球8个，不同的白球7个.（1）从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？（2）从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？解析（1）由分类加法计数原理得从中任取一个球共有8+7=15种；（2）由分步乘法计数原理得从中任
10、取两个球共有8X7=56种.16.若x,yN*,且x+yW6,试求有序自然数对（x,y）的个数.分析由题目可获取以下主要信息：（1）由x,yN*且x+y6,知x,y的取值均不超过6；（2）（x,y）是有序数对.解答本题可按x（或y）的取值分类解决.解析按x的取值时行分类：x=1时，y=1,2，5,共构成5个有序自然数对；x=2时，y=1,2，4，共构成4个有序自然数对；x=5时，y=1,共构成1个有序自然数对.根据分类计数原理，共有N=5+4+3+2+1=15个有序自然数对.点评本题是分类计数原理的实际应用，首先考虑x,y的取值均为正整数，且其和不能超过6,同时注意(x,y)是有序数对，如(1
11、,2)与(2,1)是不同的数对，故可按x或y的取值进行分类解决.计数的关键是抓住完成一件事是分类还是分步，一个类别内又要分成几个步骤，一个步骤是否又会分若干类.17.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并有3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？解析将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右.字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位
12、，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法.根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26x25X24x10X9X8=11232000(个).同理，字母组合在右的牌照也有11232000个.所以，共能给11232000+11232000=22464000辆汽车上牌照.18.已知集合A=a1,a2,a3,a4,集合B=b1,b2,其中ai,bj(i=1,2,3,4,j=1,2)均为实数.(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？(2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？解析(1)因为集合A中的元素ai(i=1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成AB的映射有N=24=16个.(2)在(1)的映射中，a1,a2,a3,a4均对应同一元素b1或b2的情形.此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个.所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M=16-2=14个.
