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1、2、三个特殊的关系：定义4：对于集合A(1)是AA的子集,由定义的A上的关系,称为A上的空关系；(2)AA本身也AA的子集,由AA定义的A上的关系称为A上的全关系,记作EA即EA=aA,bA(3)IA=aA称为A上的恒等关系例1：设集合A=0,1,2EA=,EA是A上的全关系 EA=AA=9IA=,IA是A上的恒等关系,IA= A=3 5:32 二、几个常用的关系的例子例2：小于等于关系,A=1,2,3定义A上的关系LA=a,bA,ab则LA =,例3:整除关系设B=1,2,3,4,5,6定义B上二元关系,DB=a,bB,b/aN,则DB=,注：b/aN说成a能整除b”,或“b能除整除以a”,
2、“b能被a整除”。10:02例4：同余关系,A=1,2,3,4A上的二元关系。R=( a-b)/2Z,a,bA则R=,说明：此关系称为“模2同余关系”记作a=b(mod2)类似有“模3同余”模4同余等”例5：包含关系A是一个集合,定义P(A)上的一个关系,RuP(A),vP(A),且uv例如A=a,b,P(A)= ,a,b,AR=,15:17例6：设A=2,3,4,5,6分别列出下列关系。 R=a是b的倍数R= , R=(a-b)2AR=, R=a/b是素数R=, R=abR=EA-IA,共有25-5个有序对。 R=a,b互质R=, 说明：a,b 互质,即a,b的最大公约数为1。21:18三、
3、关系矩阵和关系图。1、 关系矩阵：定义5：设集合A=a1,am,B=b1bnR是A到B的关系,则R的关系矩阵是一个mn阶的矩阵MR=(rij)mnrij=1,当 R=0,当 R如果R是A上的关系时,则其关系矩阵是一个方阵。例7：A=a,b,c,d B=x,y,z,A=4B=3,R=,则MR是43的矩阵MR=1 0 1 a0 1 0 b0 0 1 c0 1 0 dx y z其中r13=1表示R,而r23=0,表示 R 26:541 0 0 0 0 20 1 0 0 0 31 0 1 0 0 40 0 0 1 0 51 1 0 0 1 62 3 4 5 6 例6中A=2,3,4,5,6则R1=|a
4、是b的倍数关系图如下：MR1=说明：空关系的关系矩阵MF的所有元素为0全关系EA的关系矩阵ME的所有元素为1恒等关系IA的关系矩阵MI的所有对角元为1.非对角均为零,此矩阵在线性代数中称为单位矩阵,记作I。 33:04四、关系图：定义6：设A=a1,am,B=b1,bn,(AB) R是A到B的关系,通m+n个空心点分别表示a1,am和b1,bn(一般分列两边),这些空心点称为结点。如果R,则由结点ai向结点bj通一条有向弧,箭头指向bj;如果R。则不画相应的弧。这样形成的图称为关系R的关系图。 如R是A上的关系,则画m个空心点表示a1,am,(不画2m个结点,而且不再分列两边)有向弧,画法同(1),如果R,则画一条以ai到自身的一条有向弧,这种弧称为自回路。39:03例9,例7中 R=,则关系图为abcdxyz 41：08例6中：A=2,3,4,5,6(1) R1倍数关系43652(2) R2(a-b)2A24653(3) R3a/b 是素数42635(4) R4 a,b互质56432 49:15说明：A到B的不同的关系共有多少？如|A|=m,|B|=n,|AB|=mn,而关系是AB的子集,根据幂集个数的结论,AB的子集共有2mn,所以,A到B的关系共有2mn个。如A=B,则A上的关系共有2 个。n2
