《2023届北京市西城区高三一模数学试题Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届北京市西城区高三一模数学试题Word版含解析（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、西城区高三统一测试试卷数学试题本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先对集合化简，再由交集得定义即可求得.【详解】，由得故选：B2. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断各选项中函数在区间上的单调性，可得出合适的选项.【详解】对于
2、A选项，当时，则在上单调递减；对于B选项，函数在区间上不单调；对于C选项，函数在上不单调；对于D选项，因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数.故选：D.3. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定的取值范围即可得出结论.【详解】根据对数函数在定义域内为单调递增可知，即；由三角函数单调性可知；利用指数函数为单调递增可得；所以.故选：C4. 在的展开式中，的系数为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用二项式定理的性质.【详解】设的通项，则，化简得，令，则系数为，即A正确.故选：A5. 已知为所
3、在平面内一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则，故选：A.6. 函数是（ ）A. 奇函数，且最小值为B. 奇函数，且最大值为C. 偶函数，且最小值为D. 偶函数，且最大值为【答案】C【解析】【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得，由三角函数值域即可得，即可得出结果.【详解】由题可知，定义域为，关于原点对称，且，而，即函数为偶函数；所以，又，即，可得函数最小值为0，无最大值.故选：C7. 已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴则“的离心率为”是“的
4、一条渐近线为”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据题意，分别从充分性和必要性两方面进行检验即可求解.【详解】若双曲线的离心率为，则，所以，若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为；若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为；所以“的离心率为”不是“的一条渐近线为”的充分条件；反之，双曲线的一条渐近线为，若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为，所以，离心率；若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为，所以，离心率；所以“的离心率为”不是“的一条渐近线为”的必要条件；综上：“的离心率为”是“的一条渐近线为”的既不充分也不必要条
5、件，故选：D.8. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭（除燃料外）的质量间的关系为若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据所给关系式，求出，近似计算得解.【详解】由题意，火箭的最大速度为时，可得，即，因为，所以近似计算可得，故选：B9. 设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将图象平移对参数进行分类讨论即可得出其取值范围.【详解】画出函数的图象如下图所示：函数可由分段平移得到，易知当时，函数恰有一个零点
6、，满足题意；当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；当时，恰有一个零点，满足题意，即；综上可得的取值范围是.故选：D10. 名学生参加某次测试，测试由道题组成若一道题至少有名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了道题，则该生本次测试成绩合格如果这次测试至少有名学生成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得学生人数和题目数必须是3的倍数，可从进行讨论即可得出的最小值为9.【详解】根据题意可知，不妨设，所以，若求的最小值，只需最小即可；易知当时，即；此时即有3名
7、学生不妨设为甲、乙、丙；3道题目设为；根据题意可得至少有2名学生成绩合格，这两名学生至少做出了4道题，可设甲同学做出了两道题，乙同学做出了两道题，丙同学做出了0道题，此时合格的学生为甲乙，即有名学生成绩合格，三道题目中有两道题，有名学生未解出来，即满足测试中有道题为难题；所以符合题意.故选：B第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 复数，则_.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法法则化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】，因此，.故答案为：.12. 已知抛物线的顶点为，且过点若是边长为的等边三角形，则_【答案】1【解析】【分析】根据抛物线的
8、对称性以及等边三角形的边角关系即可代入求解.【详解】设，则,即，所以，由于又，所以，因此，故关于轴对称，由得,将代入抛物线中得所以，故答案为：113. 已知数列的通项公式为，的通项公式为记数列的前项和为，则_；的最小值为_【答案】 . . 【解析】【分析】（1）由题可得，根据等比数列及等差数列的求和公式可得，利用数学归纳法可得时，时，进而即得.【详解】由题可知，所以，令，则，当时，即，下面用数学归纳法证明当时，成立，假设时，成立，当时，即时也成立，所以时，即，所以时，时，由当时，有最小值，最小值为.故答案为：；.14. 设，其中当时，_；当时，的一个取值为_【答案】 . . （答案不唯一）【解
9、析】【分析】将代入计算可得，利用两点间距离公式可知；由即可得，化简整理可得，即可写出一个合适的值.【详解】根据题意可得当时，可得，所以；当时，即，整理可得，即，可得，所以的一个取值为.故答案为：,15. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上给出下列四个结论： 的最小值为；四面体的体积为；有且仅有一条直线与垂直；存在点，使为等边三角形其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】对于，利用直线之间的距离即可求解；对于，以为顶点，为底面即可求解；对于，利用直线的垂直关系即可判断；对于，利用空间坐标即可求解.【详解】对于，由于在上运动，在上运动，所以的最小值就是两条直线之间距离，而，所以
10、的最小值为；对于，而，所以四面体的体积为；对于，由题意可知，当与重合，与重合时， ，又根据正方体性质可知，所以当为中点，与重合时，此时，故与垂直的不唯一，错误；对于，当为等边三角形时，则此时.所以只需要与的夹角能等于即可.以为原点，、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图，设，则由题意可得，则可得，则，整理可得，该方程看成关于二次函数，所以存在使得为等边三角形.故答案为：三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，在中，平分交于点，（1）求的值；（2）求面积【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解；（2）由（1）可求出，
11、再根据平分可得为等腰三角形，再根据三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】在中，由正弦定理得，所以，因为，所以；【小问2详解】由（1）得，由题设，即为等腰三角形，所以，所以的面积17. 根据国家学生体质健康标准，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：立定跳远单项等级高三男生高三女生优秀及以上及以上良好及格不及格及以下及以下从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：男生女生假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；（2）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中
12、立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；（3）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件判断与是否相互独立（结论不要求证明）【答案】（1） （2） （3）与相互独立【解析】【分析】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，计算频率得到优秀率的估计值；（2）由题设，的所有可能取值为算出对应概率的估计值，得到的数学期望的估计值；（3）利用两个事件相互独立的定义判断即可.【小问1详解】样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，所以估计该校高三男生立定跳远单
13、项的优秀率为；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为【小问2详解】由题设，的所有可能取值为估计为；估计为；估计为；估计为估计的数学期望【小问3详解】估计为；估计为；估计为，所以与相互独立18. 如图，在四棱锥中，平面，为棱上一点，平面与棱交于点再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，完成下列两个问题（1）求证：为的中点；（2）求二面角的余弦值条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）若选条件，利用线面平行判定定理和性质定理即可得出四边形为平行四边形，又即可得为的中位线即可得出证明；若选条件，利用勾股定理可得为的中点，再利用线面平行判定定理和性质定理即可得，即可得出证明；（2）建立以为坐标原点的空间直角坐标系，求出平面的法向量为，易知是平面的一个法向量，根据空间向量夹角与二面角之间的关系即可求得结果.【小问1详解】选条件：因为，平面，平面，所以平面因为平面平面，所以又， 所以四边形为平行四边形所以且 因为且，所以且所以为的中位线 所以为的中点 选条件：因为平面，平面，所以在中， 在直角梯形中，由，可求得，所以因为，所以为的中点 因为，平面，平面， 所以平面因为平面平面，所以
