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1、商洛市2024届高三第四次模拟检测数学试卷（理科）考生注意：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分考试时间120分钟2请将各题答案填写在答题卡上3本试卷主要考试内容：高考全部内容第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数，复数是复数的共轭复数，则（ ）A2BC1D2已知集合，集合，则（ ）ABCD3的展开式中常数项是（ ）A第4项B第5项C第6项D第7项4已知是等差数列的前项和，且满足，则（ ）A65B55C45D355近年来商洛为了打造康养之都，引进了先进的污水、雨水过滤系统已知过滤过程中废水的污染
2、物数量与时间（小时）的关系为（为最初的污染物数量）如果前3小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）A2.6小时B6小时C3小时D4小时6在中，是的中点，点分的比为与相交于设，则向量（ ）ABCD7已知点在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，线段的中点也在抛物线上，抛物线的焦点为，则线段的长为（ ）A1B2C3D48已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（ ）A8B16C32D489已知函数，给出的图像对应的函数解析式可能是（ ）ABCD10已知函数与函数的图像的对称轴相同，给出下列结论：的值可以为4；的值可以为；函数的单
3、调递增区间为；函数的所有零点的集合为其中正确的为（ ）ABCD11已知是双曲线右支上的动点，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（ ）A12BCD12已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）ABCD第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13在区间上随机取两个实数，则事件的概率为_14曲线的一条切线方程为，则_15在矩形中，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为_16已知函数满足，则满足的最大正整数的值为_三、解答题：共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题
4、：共60分17（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足（1）求角的大小；（2）若，求的面积18（本小题满分12分）现从某学校高三年级男生中随机抽取50名男生测量身高，测量发现被测学生的身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组，第2组，第6组如图，这是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）试评估该校高三年级男生的平均身高；（2）求这50名男生身高在以上（含）的人数；（3）从这50名身高在以上（含）的男生中任意抽取2人，将这2人中身高在（含）以上的人数记为，求的数学期望19（本小题满分12分）如图1，在矩形中，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥 图1 图2
5、（1）当时，求的长；（2）当平面平面时，求平面与平面的夹角的余弦值20（本小题满分12分）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点（1）求椭圆的方程（2）设是椭圆的右顶点，是椭圆上不同的两点，直线的斜率分别为，且过作，垂足为，试问是否存在定点，使得线段的长度为定值?若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由21（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，若函数和的图像在上有交点，求实数的取值范围（二）选考题：共10分请考生从第22，23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知曲线的参数方程为（为参数）
6、，直线与曲线相交于两点，以极点为原点，轴的负半轴为极轴建立平面直角坐标系（1）求曲线的极坐标方程；（2）记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围23选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数的最小值是（1）求；（2）若正数满足，求证：商洛市202244届高三第四次模拟检测数学试题（理科）参考答案及评分意见一、选择题：123456789101112ABBDCCCBDBCB1A【详解】根据复数的运算性质，可得故选A2B【详解】，解得，所以，所以故选：B3B 【详解】的通项为，令有故的展开式中常数项为第5项故选：B4D【详解】设数列的公差为，则，故选：D5C【详解】由题意可得，可得，设，解得
7、因此，污染物消除至最初的还需要3小时故选：C6C【详解】由题意三点共线，所以存在，使得，同理三点共线，所以存在，使得，由平面向量基本定理可得，解得，所以故选：C7C【详解】由已知是的中位线，可知，过向准线做垂线，垂足分别为，同理是的中位线，有抛物线定义知，因此，点横坐标是该，所以，故选：C方法二：设点，则，由已知，解得，所以，故选：C8B【详解】观察可发现这个棱锥是将一个侧面摆在地面上，而棱锥的真正底面体现在正视图（梯形）中，所以，而棱锥的高为侧视图的左右间距，即，所以答案：B9D【详解】对于，定义域为，满足，为偶函数同理可得：为奇函数记，则所以且，所以为非奇非偶函数；同理可证：为非奇非偶函数
8、；和为奇函数由图可知，图像对应函数为奇函数，且显然选项A，B对应的函数都不是奇函数，故排除；对C：，为奇函数当时，故错误；对D，为奇函数当时，故正确故选：D10B【详解】对于，因为两函数图像的对称轴相同，且两相邻对称轴之间的距离等于周期的一半，所以两函数的周期也相同，因此，解得，故错误；对于，因为，所以，当时，此时与的图像关于轴对称，则它们的对称轴相同，故正确；对于，令得，故的单调递增区间为，故正确；对于，的所有零点满足，解得所有零点的集合为，故错误11C【详解】由双曲线定义，当且仅当取得最小值故选：C12B【详解】由题意，不等式即，进而转化为令，则，当时，所以在上单调递增则不等式等价于恒成立
9、因为，所以，所以对任意恒成立，即恒成立设，可得，当单调递增当单调递减所以有最大值，于是，解得故选：B二、填空题：本题共4小题13 141 15 161213答案：【详解】事件概率为14答案：【详解】，切线为，斜率为，15答案：【详解】因为的中点是球心，所以该球的半径为，所以外接球的体积为16答案：12【详解】，所以数列是公比为2的等比数列，则有所以所解不等式为：可解得：的最大值为12三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：17答案：（1） （2）【详解】（1）在中，由正弦定理得：所以，所
10、以，即，即，又，所以，所以，即（2）在中，由余弦定理得，即，所以18【详解】（1）由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为，平均值为168.72，高于全市平均值168（2）由频率分布直方图知，后3组频率为，人数为，即这50名男生身高在以上（含）的人数为10（3）由已知50人中以上的有2人随机变量可取0，1，2，于是，19【详解】（1）由，且平面，可得平面，又平面，则，在中，根据勾股定理，（2）如图，过点作于点，由代值易得：由平面平面，平面平面平面，可知平面在平面中，过点作的垂线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系则，有设平面的法向量，则，令，解得其中一个法向量；设平面的法向量
11、，则，令，解得其中一个法向量于是，故平面和平面夹角的余弦值为20【详解】（1）因为椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以，则椭圆的方程为又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的方程为（2）设，若直线斜率为0，不妨设，此时是方程的两根，所以，但，不满足题意；若直线斜率不为0，直线的方程为，且，联立方程组，消去得，由，得，所以又因为，所以，整理得，即，化简得所以，化简得，解得，即直线恒过点因为，所以点在以线段为直径的圆上，取线段的中点，则，所以存在定点，使得线段的长度为定值21【详解】（）函数的定义域为，则令，得（1）当时，（2）当时，+0-极小值（3）当时，+0-极小值综上当时，在上递减；当时，在上递增，
12、在上递减；当时，在上递增，在上递减（）当时，设函数和的图像在有交点，等价于函数和的图像在上有交点，即函数和的图像在上有交点，等价于的图像在有零点的单调递增区间是，单调递减区间是，由（）知当时，在为增函数，在上有零点，则或，当时，在递增，在递减，即，综合得：实数的取值范围为（二）选考题；请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22（1）；（2）【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），所求方程为曲线的极坐标方程为（2）联立和，得，设，则，由，得，当时，取最大值，故实数的取值范围为23（1） （2）证明见解析【详解】（1）由题意得，所以在上单调递减，在上单调递增因此的最小值（2）由（1）知，且均为正数，所以，由基本不等式，所以，当且仅当时等号成立，即
