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1、二次函数二次函数的图象与性质本节内容一、二次函数的概念一般地，若两个变量 x, y之间的对应关系可以表示成 y = ax2 bx c a = 0的形式，则称y是x 的二次函数其中， ax2叫做二次项，a叫做二次项系数； bx叫做一次项，b叫做一次项系数； c叫 做常数项.二、二次函数的图象的画法2(1 )我们先来画一下 y = x的图象(描点法).如下图：其图象是一条抛物线，开口向上，且关于y轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，即图象的最低点(原点).想一想：y = -x2 , y = 2x2的图象又会是怎样的呢？(2) 利用函数平移的知识，可知：2 2 y= x 1就可以看作是y二X
2、向左平移一个单位得到：抛物线形状不变，开口向上，且关于x - -1对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，即图象的最低点，坐标为-1,0 .2 2 y=x，1 -2就可以看作是y二x向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到：抛物线形状不变，开口向上，且关于x二-1对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，即图象的最低点，坐标为-1,-2 . 2 2 同理，像y=2(x+1)2就可以看作是y = 2x2通过平移得到.2 2(3) 我们把(2)中式的函数y = 2 x V -2化成一般形式，得：y =2x2 4x 这也就提示了我 们画一个二次函数图象时， 可把y =2x2 4x通过配方法化成y
3、= 2 x 1 -2，再画出其图象.(4) 由(1) (2) (3)我们可以得到：二次函数 y二ax2 bx c a = 0，通过下面“配方”的方式：y = ax2 bx c =b_ba4a2y=a x +-x 十cn y = a x +-x +b2c -4a我们把y = a i x -4ac - b2+4a2a224ac b+叫做二次函数的顶点式从顶点式中我们可以读出：对称轴4ab为x,顶点坐标为2ab 4ac-b2 2a 4a4 ac b 2我们把顶点的纵坐标也称为函数的最值,4a开口向上时，函数有最小值；开口向下时，函数有最大值.(5)画二次函数图象，可以先画出顶点，对称轴，并确定开口方
4、向，再画出若干关于对称轴对称的点, 从而得到函数图象我们经常选取顶点、与x, y轴交点等特殊点来画二次函数图象.三、二次函数的图象与系数的关系(1) a的符号决定着开口方向：a . 0时，开口向上；a : 0时，开口向下.a大小决定着开口大小：a越大，开口越小；a越小，开口越大.(2) a,b共同决定着对称轴的位置(对称轴：x b)2ab =0时，对称轴为x=0，即y轴；K a,b同号时，一 一：0，对称轴位于y轴左侧；2aK a,b异号时，一 一0，对称轴位于y轴右侧可以记为：“左同右异”2a(3) c决定着抛物线与 y轴交点的位置(与 y轴交于0,c ) c = 0时，抛物线过原点； c
5、0时，抛物线交y轴正半轴于一点； c ： 0时，抛物线交y轴负半轴于一点.2 2 2(4) b -4ac的符号决定着抛物线与 x轴的交点情况(b -4ac即方程ax bx 00的)2 b -4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点； b2 - 4ac 0时，抛物线与x轴有2个交点； b - 4ac : 0时，抛物线与x轴无交点.四、二次函数的增减性初三数学# / 7(1) a 0-在对称轴的左侧,y随x的增大而减小；在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.(2) a 0=在对称轴的左侧,y随x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.本节习题【例1】下列函数中，哪些是二次函数？请指出二次函数的
6、二次项系数、一次项系数和常数项.(2)y =扣+1 )-22(3) y = x -1 j x 1 x -1【例2】下列说法正确的是()A .二次函数的自变量的取值范围是非零实数B 圆的面积公式Sr R2中，S是R的二次函数2C. y x -1 x 4不是二次函数3D. y = 1 -p：2x2中一次项系数为1【例3】已知函数y = a 1 xa 1 a-2 x ( a为常数)(1) a为何值时，此函数为二次函数?(2) a为何值时，此函数为一次函数?【例4】画出下列函数图象，并指出对称轴，顶点坐标，最值.2(1) y = x -4x 3(2) y 二1 x2x22(3) y = x 6x 10
7、2(4) y = -2x -5x 7【例5】(1)二次函数y二m -1 x5如,在其图象对称轴的右侧，y随着x的增大而减小，则m的值为.2丄(2)若二次函数y二mxm 1有最小值，则 m= .【例6】抛物线y = 2 x 1 x -3的顶点坐标是.【例7】(1)已知抛物线y二ax2bxa 0的对称轴为直线x=1，且经过点 -1,% , 2, y2 , 试比较和y2的大小：y1y2.(2) 已知二次函数y=ax2bx的图象过 A 1,2 ,B 3,2 C 5,7.若点M -2,% ,N：；：-1, y2 ,K 8,y3也在二次函数 y二ax2 bxc的图象上，则下列结论正确的是 ()A. 5 讨2y3B. w % ：y3c.y3： % ：讨2D.y1：y：y?(3) 已知点 A为,5 , B X2,5是函数y =x2 -2x 3上两点，则当x?时，函数值y =.【例8】设抛物线为y = x2 -kx k -1，根据下列各条件，求 k的值.(1)抛物线的顶点在 x轴上；(2)抛物线的顶点在 y轴上；(3)抛物线经过点-1,-2 ;(4)抛物线经过原点;(5)当x - -1时，y有最小值;(6) y的最小值为-1.
