《人教A版必修2数学同步导学第一章1.31.3.1柱体锥体台体的表面积与体积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版必修2数学同步导学第一章1.31.3.1柱体锥体台体的表面积与体积（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、U I T I Z HA IM Li窒I貝几何儀空间几何体的表面积与体积1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积课前门上学习基稳才能楼高预习课本P2327,思考并完成以下问题1 .棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？2 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么?3 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么?4 柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么?5圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系?新知初探1. 柱体、锥体、台体的表面积公式图形多面体表面积公式多面体的表面积就是各个面的面 积的和，也就是展开图的面积圆柱旋圆锥转体圆台底面积：S底=E侧面积：s侧=2 n表面积：S= 2 url
2、 + 2 n底面积:s 底= n侧面积：S侧=Ttrl表面积：S= n*l+ n2上底面面积：S上底=n 2下底面面积：S下底=n2侧面积：S侧=n（r + r） 表面积：S= n （ 2+ r2+ r l+ rl）2. 柱体、锥体、台体的体积公式柱体的体积公式 V = Sh（S为底面面积，h为高）;1锥体的体积公式 V = 3Sh（S为底面面积，h为高）;3台体的体积公式 V =寸住+飞沁S+ S）h.点睛（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：t r r 严,|0 宀Sai柱倒=rlS 0）台圈=it （ r +S圓锥澗= nrL功柱体、锥体、台体的宦积公式之间的关系：Sf= S g
3、fS=0V= Sh V=十（S + 应 + S） hV= y Shr小试身手1 .判断下列命题是否正确.（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）锥体的体积等于底面面积与高之积（）（2）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差（）答案：X （2） V2.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（）A.a24B3 2B.4a3 + 丁3 2C.-2 a6+ 3 2D.a解析：选A 侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于弓，-S表23 + j3 2住a)= =a3 .若圆锥的底面半径为 3,母线长为5,则圆锥的体积是吾3X 1解析：由已知圆锥的高h= 4,1所以 V 圆锥=3
4、nX 32 X 4= 12 n.3答案：12n课堂讲拣设计，举-能通类题题型一柱、锥、台的表面积典例现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积.解如图，设底面对角线 AC = a, BD = b,交点为O,对角线AiC= 15, BiD = 9, a2+ 52= 152, b2+ 52= 92, a2= 200, b2= 56. 该直四棱柱的底面是菱形, AB2=a2 + b2200 + 564=64 AB= 8.直四棱柱的侧面积 S= 4X 8 X 5 = 160.（1）求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面
5、积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积.（2）结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式 求解.活学活用1. （2016全国卷川）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A. 18+ 36 5C. 90D. 81解析：选B 由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3 X 3 + 3X 6+ 3X 3 5) X 2
6、 = 54+ 18 5.故选B.2圆台的上、下底面半径和高的比为1 : 4 : 4,若母线长为10,则圆台的表面积为(A. 81 nB. 100 nC. 168 nD. 169 n解析：选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r,下底面半径为 R,则它的母线长为 1=寸h2+ (R r 2 =(4r f + (3r $ = 5r= 10,所以 r = 2, R= 8.故 S 侧=nR+ r)l = n (+ 2) X 10= 100n,n cS 表=S 侧 + Tif2+ 冗R2= 100 n + 4 n+ 64 n= 168 n.柱体、锥体、台体
7、的体积典例一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(22 Hr 2 正视图侧视图俯视图B. 4 n+ 2 3D. 4 n+ 今A. 2n+ 2 3C. 2n+ 今解析该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为 1,高为2,体积为2n,四棱锥的底面边长为 2，高为J3,所以体积为X，所以该几何体33的体积为2 n+ 2 3 3.3答案C空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1) 求简单几何体的体积.若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解.(2) 求以三视图为背景的几何体的体积.应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.活学活用1.一个几何体的三视图
8、如图所示，则该几何体的体积为止观图5C.5解析：选A由三视图可知，该几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥,俯视图三棱柱的体积为12 x 2X3x 2 = 2 3 ,截去的三棱锥的体积为x 2x 3X 1=于 ,所以该几何体的体积为2 3 于=誉，故选A.2 .已知某圆台的上、下底面面积分别是n, 4 n,侧面积是6 n则这个圆台的体积是解析：设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为I，高为h,则S上=7tr2= n S下=tR2= 4 n,二 r= 1, R = 2, S 侧=n (+ R) l= 6 n, I = 2,二 h=3,二 V = n (1+ 22 + 1 x 2) x337,33
9、 n.答案:7 ,33 n几何体体积的求法题点一：等积变换法1.如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, E为线段B上的一点，则三棱锥 A-DED 1的体积为 .解析：V 三棱锥 A-DED1 = V 三棱锥 E-DD1A= Jx 1 x 1x 1x 1 =1.3 261答案：12.如图所示，三棱锥的顶点为 P, PA, PB, PC为三条侧棱，且 PA, PB, PC两两互相垂直，又 PA= 2, PB= 3, PC = 4,求三棱锥 P-ABC的体 积V.解：三棱锥的体积 V = 3sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以 作为底面，所以此题可把 B看作顶点
10、， PAC作为底面求解.1故 V = PACPB =1 X2 X 4 X 3= 4.3 2题点二：分割法3.如图，在多面体 ABCDEF中，已知面 ABCD是边长为4的正方 形，EF / AB, EF = 2, EF上任意一点到平面 ABCD的距离均为3,求 该多面体的体积.解：如图，连接EB, EC.四棱锥E-ABCD的体积1 2V 四棱锥 E-ABCD = 3X 4 X 3= 16.3/ AB = 2EF , EF / AB ,& eab= 2SBEF .1 1 11-V三棱锥F-EBC = V三棱锥C-EFB = ?V三棱锥C-ABE =卞三棱锥E-ABC= ? X ?V四棱锥E-ABC
11、D l多面体的体积 V = V四棱锥E-ABCD + V三棱锥F-EBC = 16+ 4 = 20.题点三：补形法4 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积.解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱 的体积为nX 22X 5= 20n,故所求几何体的体积为10n.5.已知四面体 ABCD 中，AB= CD = .13, BC = AD = 2 5, BD = AC = 5,求四面体ABCD的体积.解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图.设长方体的长、宽、高分别为x, y, z,则x2 + y2= 13
12、, y2 + z2= 20,x2 + z2= 25,x= 3, y= 2,z= 4.ca1 1VD-ABE = 3DE SABE = 6V 长方体，1同理，Vc-ABF = Vd-ACG= Vd-BCH = &V 长方体，11V四面体ABCD = V长方体4X二V长方体=二V长方体63而V长方体=2X 3X 4= 24, V四面体abcd = 8.(1) 三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫作体积转移 法(或称等积法)(2) 当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，这时可通过分割或补形, 将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积.
13、课后很级训练，步步提升能力层级一学业水平达标1 已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则该长方体的表面积为()A 22B. 20C. 10D. 11解析：选A 所求长方体的表面积 S= 2X (1 X 2)+ 2X (1 X 3) + 2X (2X 3)= 22.2 .若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A. 1 : 2B. 1 : 3C. 1 ： 5D. 3 ： 2解析：选C 设圆锥底面半径为 r,则高h= 2r,.其母线长l=5r. S侧=n*l=【5 ur2, S 底=n2, S 底：S 侧=1 :5.3. (2017全国卷n )如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A. 90 nB. 63 nC. 42 nD . 36 n解析：选B 法一：由题意知，该几何体由底面半径为3,高为10的圆柱截去底面半径为3,高为6的圆柱的一半所得，故其体积V = nX 32X 10 1 X nX 32X 6= 63n.2法二：由题意知，该几何体由底面半径为3,高为10的圆柱截去底面半径为
