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1、博学教育 优等生同步奥数提高 五年级（上）第一讲 整数问题第1课 数的整除一、 知识要点1. 整除因数、倍数 必要条件：（1）a、b、c三个数是整数（2）b0（3）ab=c 结论：整数a能被整数b整除，或b能整除a，则a叫做b的倍数，b叫做a的因数。记作：ba整数a除以整数b（b0）等于c（c是整数且没有余数），那么说a能被b整除，或b能整除a，a叫做b的倍数，b叫做a的因数。2. 相关基础知识点回顾（1）0是任何整数的倍数。 （2）1是任何整数的因数。3. 数整除的性质性质1：如果a、b都能被m整除，那么它们的和与差也能被m整除。 即：如果ma，mb，那么m（ab）。例如：如果210，26，
2、那么2（106），并且2（106）。性质2：如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除。即：如果ma，na，那么 m，na。例如：如果636，936，那么6，936。性质3：如果m、n都能整除a，且m和n互质，那么m与n的积能整除a。即：如果ma，na，且（m，n）=1，那么（mn）a。例如：如果272，972，且（2，7）=1，那么1872。性质4：如果a能整除b，b能整除m，那么a能整除m。 即：如果ab，bm，那么am。 例：如果714，1428，那么728。4. 数的整除特征 （1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是2、4、6、8、0），
3、那么它必能被2整除。（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除。（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除。（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除。 例：1864能否被4整除？ 解：1864=1800+64，因为464， 4是1864的因数，1864是4的倍数，所以41864。（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除。 例：29375能否被125整
4、除？ 解：29375=29000+375，因为125375，125是375的因数，375是125的倍数，所以12529375。（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。(奇数位指：这个数的个位、百位、万位；偶数位指：这个数的十位、千位、十万位)例：判断13574是否是11的倍数？ 解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（451）-（73）0。因为0是任何整数的倍数，所以110。因此13574是11的倍数。例：判断123456789这九位数能否被11整除？ 205，又因为11 5，所以11 12345
5、6789。（7）能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。例：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数。因为1059-282777，又因为7777，所以71059282。因此1059282是7的倍数。例：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为8212819，又13819，所以132821，进而133546725。二、 典型例题详解猜猜会是什么数？【例1】：一个8
6、56五位数，能被3、4、5整除，这样的五位数中，最小的一个是多少？ 解：先将856，看做856ab。 3856ab，则38+5+6+a+b，319+a+b，a+b=2或a+b=5或a+b=8。 4856ab，则4ab，ab=偶数 5856ab，则b=0或b=5，又ab为偶数，b=0 a+b=2或a+b=5或a+b=8，且b=0，a=2或a=5或a=8 当a=2，b=0时，这个数为85620；当a=5，b=0时，这个数为85650；当a=8，b=0时，这个数为85680。 答：五位数中最小的一个是85620。【例2】：一本老账本上记着：72只桶，共元，其中处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上。 解
7、：先将，看做整数a679b。72=89，且（8，9）=1，8a679b，且9a679b。 若8a679b，则879b，所以b=2。 若9a679b，b=2，则9a6792，9a+6+7+9+2，9a+24，所以a应是3。 所以这个数应是 答：这笔账应是 元。【例3】：173是一个四位数，在其中的方框中先后填入三个数字，所得到的三个四位数，依次可以被9、11、6整除。先后填入的三个数字的和是多少？方法一 试商法 解： 方法二 倍数特征解：三、 课后作业1. 在中填入适当的数字，使所组成的数能够被4整除。784 7653 8633. 一个六位数2356是22的倍数，那么这样的六位数中，最大的一个是
8、多少？2. 71450至少加上多少后就能被4整除？4. 如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？5.一位采购员买了同样的72只热水杯，可是发票不慎弄湿，单价无法辨认，总价数字也不全，只能看出： 173. 元。你能算出热水杯的单价吗？第一讲 整数问题第2课 倍数与因数（一）一、 知识要点1. 质数与合数 质数：一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数。（素数）合数：一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。1不是质数，也不是合数。2. 质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。分解质因数：把一
9、个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：30分解质因数。 解：30=235 答：2、3、5是30的质因数。 分解质因数的方法：可以用短除式来求质因数100以内的质数（要会背的）：2、3、5、7、 11、13、 17、19、 23、29、 31、37、 41、43、 47、 53、59、 61、67、 71、73、 79、 83、89、 97.3. 公因数与公倍数公因数：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数。公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。一个数的因数的个数是（ ）的，倍数的个数是（ ）的。几个数的公因数的个数是（ ）的，公倍数的个数是（ ）的。
10、4. 最大公因数与最小公倍数最大公因数：在几个自然数的公因数中，最大的一个称为这几个数的最大公因数。 a、b的最大公因数=(a，b)最小公倍数：在几个自然数的公倍数中，除零外最小的一个称为这几个数的最小公倍数。 a、b的最小公倍数=a、b1 83 029335用公有的质因数2除用公有的质因数3除除到两个商是互质数为止15 （18，30）=23=6 18，30=2335=90二、 典型例题详解用短除法计算：【例1】五年级三个班分别有30、24、42人参加课外科技活动，现在要把参加的人分成人数相等的小级，并且各班同学不能打乱，那么每组最多多少人？一共可以分成多少个小组？解： 30=235 24=2
11、322 42=237 （30，24，42）=23=6（人） 306=5（个）246=4（个）426=7（个）547=16（个）答：每组最多可以分6人，一共可以分16个组。【例2】有一种长16厘米，宽12厘米的塑料扣板，如果用这种扣板拼成一个正方形，最少需要多少块？用短除法计算：解：16=2222 12=223 16，12=22223 =48（厘米） 4816=3（块） 4812=4（块） 34=12（块）答：最少需要12块扣板。【例3】甲对乙说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”求出甲、乙现在的年龄。解：甲现在的年龄是乙的7倍，则甲的年
12、龄比乙大6倍； 当甲的年龄是乙的6倍时，则甲的年龄比乙大5倍； 当甲的年龄是乙的5倍时，则甲的年龄比乙大4倍； 当甲的年龄是乙的4倍时，则甲的年龄比乙大3倍； 当甲的年龄是乙的3倍时，则甲的年龄比乙大2倍； 当甲的年龄是乙的2倍时，则甲的年龄比乙大1倍；甲、乙的年龄差是6、5、4、3、2的公倍数。6，5，4，3，2=65432=60（岁）60（7-1）=10（岁）10+60=70（岁）答：甲的年龄是70岁，乙的年龄是10岁。 【例4】写出三个小于20的自然数，它们的最大公因数为1，但两两均不互质，共有几组?解：假设这三个数分别是a、b、c a、b、c两两不互质，且a20，b20，c20，则两两
13、间的质因数互不相同且乘积小于20 （a，b）=2或（a，b）=3 或（a，b）=5； （a，c）=2或（a，c）=3 或（a，c）=5； (b，c）=2或 (b，c）=3 或 (b，c）=5； a，b，c三数有可能是23=6，25=10，35=15，26=12，36=18。 又 （a，b，c）=1； （6，10，15）=1；（10，15，12）=11；（10，15，18）=答：共有三组，分别是（6、10、15），（10、12、15），（10、15、18）。三、 课后习题1. 求56，36，284的最小公倍数。3. 三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别为半分钟、45秒钟、1分15秒。三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次在起点相会？5. 把一张长120cm，宽80cm的长方形纸裁成同样大小的正方形(纸不能有剩余)，至少能裁成多少张这样的正方
