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1、现代数学的发展趋势第四章现代数学的发展趋势一、现代数学的发展趋势内容 概括与古典数学相比，现代数学的发展从思想方法的角度看具有 一些新的特征，本章内容通过数学的统一性、 数学在自然科学和 社会科学中的广泛应用、 数学机械化的产生与发展及其意义、 计 算机促进计算数学的发展、计算机促进数学中新学科的发展这些 方面来认识和理解现代数学的发展趋势。下面从以下几个方面来分析： 数学的统一性数学应用的广 泛性计算机与数学发展 1.数学的统一性所谓统一性，就是部 分与部分、部分与整体之间的协调一致。客观世界具有统一性，数学作为描述客观世界的语言必然也 具有统一性。数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学
2、中各个分支 固有的内在联系的体现。它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。数学的统一性发展的三个阶段（1）数学从经验积累到严格 的演绎体系建立，其特征逐步明显，在中世纪时，从研究对象和 方法来看，初等数学有了一定的统一性。特别是17世纪解析几何的诞生，使数学中的代数与几何统一 起来，说明统一性是数学的特征。生了变革，结果是数学分支愈来愈多，数学表现的更加多样 化。因此，需要重新认识数学的统一性。为此，数学家们作了很多努力，到代，法国的布尔巴基 （Bourbaki）学派提出，利用数学内在联系和公理化方法从数学 各个分支中提炼出各种数学结构。他们认为数学的发展无非是各种结构的建立和发展，数
3、学好比一座大城市。城市中心有些巨大的建筑物，就好比是一个个已经建成的数 学理论体系。城市的郊区正在不断地并且多少有点杂乱无章地向外伸展， 他们就好像是一些尚未发育成型的正在成长着的数学新分支。与此同时，市中心又在时时重建，每次都是根据构思更加清 晰的计划和更加合理的布局，在拆毁掉旧的迷宫似的断街小巷的 同时，将修筑起新的更直、更宽、更加方便的林荫大道通向四 方，。”（统尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构（即代数结构、序结构和拓扑结构），然后根据不同的条件，由这三 个基本结构交叉产生新的结构，如分析结构、布尔代数结构等等。他们认为整个数学或大部分数学都可以按照结构的不同而加以分类，用数
4、学结构能统一整个数学， 各个数学分支只是数学结 构由简单到复杂，由一般向特殊发展的产物。数学的不同分支是由这些不同的结构组成的，而这些结构之 间的错综复杂的联系又把所有的分支连成一个有机整体。因此可以说，布尔巴基学派用数学结构显示了数学的统一性。(3),德国数学家闵可夫斯基( H.Minkowski , 1864-1909) 提出了 闵可夫斯基空间”(三维空间+时间的四维时空)，闵可夫 斯基几何为爱因斯坦的狭义相对论提供了合适的数学模型。有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦又进一步研究引力场 理论以建立广义相对论。1912年夏，他已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但 为了实现广义相对论的目标
5、， 还必须有理论的数学结构， 爱因斯 坦为此花费了三年时间，最后在数学家格罗斯曼(M.Grossmann) 帮助下掌握了发展相对论引力学说所必须的数学工具-以黎曼几何为基础的绝对微分学，即爱因斯坦后来所称的张量分析。在1915年11月25日发表的一篇论文中，爱因斯坦导出了广 义协变的引力场方程：就是黎曼度规张量。爱因斯坦指出： 由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑结 构终于大功告成！ ”根据爱因斯坦的理论，时空整体是不均匀的， 只是在微小的区域内可以近似地看作均匀。在数学上，广义相对论的时空可以解释为一种黎曼空间，非 均匀时空连续区域可借助于现成的黎曼度量：来描述。这样，广义相对论的数学表述第
6、一次揭示了非欧几何的现实 意义，成为历史上数学应用最伟大的例子之一。自然科学研究存在着两种方式：定性研究和定量研究。定性研究揭示研究对象是否具有某种特征，定量研究揭示研究对象具有某种特征的数量状态O精确的定量研究使人们能够对客观事物的认识从现象上升到 本质，从而可能有精确的科学预见功能。数学是实现定量研究的必要条件。所以，一门科学只有当它与数学充分地融合，才可能精确地 揭示客观事物的状态和变化规律，才会显示其真正的价值。因此，自然科学研究必然要经过定量研究过程，所以科学研 究的一般过程是从定性研究出发， 然后再研究其量的规律性， 进 行定量研究，并进一步把定性研究和定量研究相结合。科学的数学化
7、是有一个发展过程，它是从低级运动形态发展 到高级运动形态，以简单运动形态到复杂运动形态。与此相应的，是从物理学、力学、天文学开始，发展到化学、 生物学和工程技术科学。(2)以生物学为例与物理和天文等学科相比，生物学中应用相当迟缓.将数学方法引进生物学的研究大约始于创办了生物 统计学(Biometrika)杂志，统计方法在生物学中的应用变的日 益广泛。意大利生物学家达松纳(D Ancona)在研究地中海各种鱼 群的变化及其彼此影响时，发现鲨鱼及其他凶猛大鱼的捕获量在 全部渔获量中的比例成倍增长。他感到困惑的是作为鱼饵的小鱼也应该多起来，并且鲨鱼在 鱼群中的总体比例应该不变的什么原因使得鲨鱼的增长
8、要比小鱼的增长更快呢？达松纳尽 一切生物学上的解释都无法解开这个谜，于是他请教意大利数学家伏尔泰拉（V.Volterra）。1926年，伏尔泰拉提出著名的伏尔泰拉方程：方程中 x表示 食饵，即被食小鱼，y表示捕食者，即食肉大鱼（鲨鱼）。用微分方程知识解释道：当捕鱼量减小时，捕食者（鲨鱼） 增加，被食者（被食小鱼）减少；当捕鱼量增加时，捕食者减少， 被食者增加。这给生物学一个满意的答复。这一现象现在称为伏尔泰拉原理，已在许多生物学领域中应 用。如使用农药杀虫剂，若把害虫及其天敌一起毒杀，则由于杀 死害虫数量猛增，根据伏尔泰拉原理，却会使捕食害虫的天敌下 降更快，引起不利后果。用微分方程建立生物模
9、型在代曾获得轰动性成果，这就是描 述神经脉冲传导过程的霍奇金-哈斯利（Hodgkin-Huxley ）方程（1952年）和描述视觉系统侧抑制作用的哈特莱因-拉特里夫（Hartline-Ratliff）方程（ 1958年），它们都是复杂的非线性方程组，引起了数学家和生物学家的浓厚兴趣。这两项工作分别获得1963年和1967年的诺贝尔医学生理学 奖。（3）以医学为例代，数学方法在医学诊断技术中的应用提供 了这方面的又一重要实例。就是CT扫描仪的发明。1963-1964年间，美籍南非理论物理学家科马克 (A.M.Cormack )发表了计算人体不同组织对 X射线吸收量的数 学公式，解决了计算机断层扫
10、描的理论问题。科马克的工作促使英国工程师亨斯菲尔德(GN.Hounsfield )发明了第一台计算机 X射线断层扫描仪即CT扫描仪。科马克和亨斯菲尔德共同荣获了1979年诺贝尔医学生理学奖。数学家冯？若依曼说过：在现代实验科学中，能否接受数学方法或与数学相近的物理学方法，已越来越成为该科学成功与否 的重要标志”随着电子计算机的发展和应用，人们已经能处理越 来越复杂的现象，比如，复杂程度远远超过物理现象、 化学现象、 生物现象。数学已成为自然科学的强有力的工具。现代科学技术发展的一个重要趋势之一，是各门科学的数学 化。这种数学化已获得了丰硕的成果。社会科学的数学化发表财富理论的数学原理之研究一书
11、 算起，已有100多年的历史了。现代数学揭示了经济学中新的经济规律，促进了经济知识的例如，在经济学中应用运筹学中的博弈论、决策论、线性规 划等数学方法，来研究消费理论、生产理论、投资理论、收入理 论等。数学与经济学相结合产生了数学经济学。代以后，数学方法在西方经济学中占据了重要地位，以致大 部分诺贝尔经济学奖都授予了与数理经济学有关的工作。前苏联数学家康托洛维奇(A . B . K a h t 1912-1986)和 美籍荷兰经济学家库普曼斯(T.C.Koopmans)同获1975年度诺 贝尔经济学奖.康托洛维奇和美国数学家丹齐格(GE.Dantzig)各自独立创建的线性规划论，在代被库普曼斯
12、应用于经济学而获得 成功。代以来，数量经济学由于公理化方法的引入而取得了重大进 展。1959年美籍法国数学家、经济学家德布洛(GDebreu)发表了，对一般经济均衡理论给出了严格的公理化表述。从此，公里化方法成为现代经济学研究的基本方法。一般经济均衡价格的存在问题是经济界长期关注但悬而未决 的问题。粗略地讲，这问题是问：是否存在一个价格体系，使得消费 需求与生产供给相等。这样的价格体系就叫均衡价格体系。早在1874年，法国经济学家(L.Walras)就已经将这个问题 归结为由供给等于需求所决定的方程组的求解。这样导出的一般是一组复杂的非线性方程，虽经过许多数学 家和经济学家的努力，问题始终没有
13、解决。直到1954年，德布洛和美国经济学家阿罗(K.Arrow )第一 次利用凸集理论，不动点定理等给出了一般经济均衡的严格表述 和存在性证明。德布洛的又使这一理论体系公理化。阿罗和德布洛先后于1974年和1983年获得诺贝尔经济学奖。例2数学与语言相互渗透，产生了数理语言学这门新的交叉 学科。它用数学方法来研究语言结构和语法形式属性。随着现代科学技术的发展和电子计算机的推广应用，使人脑 与电脑通力协作，使数学与语言融为一体，产生计算机语言。例3数学向文学研究领域的渗透，使人们发现数学与文学之 间存在联系，像英国数学家西尔维斯特( Sylvester)撰写的诗 的格律一文，就应用了数学方法对莎
14、士比亚的十四行诗进 行了分析。1980年，美藉华人陈炳藻先生运用了数学与计算机相结合的 手段发表了从词汇上统计，论红楼梦的作者问题 。还有复旦大学教授李贤平先生对此亦作出了贡献。例4数学向社会学领域的渗透，产生了一门新兴的定量社会学，它应用协同学的理论和数学方法研究社会学问题，使社会学 开始走上定量化的道路。代前苏联科学家用定量方法来研究历史问题，从而产生了计 量历史学。运用计量方法可以把抽象的东西变得具体化，使微观和宏观 研究更好地结合起来，使微观研究更好地成为宏观研究的基础。社会科学的数学化已为人们所广泛接受，社会科学的数学化 是数学与社会科学相互作用、相互渗透的进程。一方面，它把数学运用
15、于各门社会科学，从而极大地提高社 会科学研究的质量和效率，使社会科学更加完善和更具有说服力。另一方面，它使社会科学与数学相结合产生新的交叉学科， 从而进一步促进数学的发展。3.计算机与数学发展电子计算机是代，出现了计算机以后由此产生一门新的学门，叫做人工智能。人工智能考虑诸如，机器翻译，机器推理，机器下棋，机器 看病等等，它的目的就是利用计算机来代替或减轻某种形式的脑 力劳动。不论是机器代替体力劳动，或是计算机代替某种脑力劳动， 其所以成为可能，关键在于所需代替的劳动已经机械化，也就是说已实现了刻板化或规格化。”数学问题的机械化就是要求在运算或证明过程中，每前进一 步之后，都有确定的、必然选择的下一步，这样沿着一条有规律 的、刻板的道路，一直达到结论。贯穿在整个数学发展历史过程中有两个中心思想，一是公理化思想，另一是机械化思想。”因此脑力劳动机械化的尝试，可以追述到几千年以前。比如，中国的九章算术中就有了对开平方和开立方机械 化过程的详细说明。但是从19世纪开始发生的一些事件对当代数学机械化的形 成与发展具有决定性意义。1854年，英国数学家乔治 布尔(GeorgeBoole)把逻辑简化 成的一种代数，用一些符号把逻辑推理形式化，发表了逻辑的
