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1、数智创新数智创新 变革未来变革未来有限点集的凸包1.有限点集的定义及凸包概念1.凸包的凸性性质1.格雷厄姆扫描算法1.分治求凸包1.增量法求凸包1.凸包的面积和周长计算1.凸包在几何和算法中的应用1.凸包的其他相关问题Contents Page目录页 凸包的凸性性质有限点集的凸包有限点集的凸包 凸包的凸性性质凸包的凸性性质：1.凸包本身是一个凸集：有限点集的凸包是一个包含所有点的最小的凸集。因此，它具有凸集的所有性质，包括闭合性、连通性和极值点在边界上。2.凸包的边是点线段：凸包的边由连接两个点线段组成。这些线段是凸包中唯一的线段，并且它们定义了凸包的边界。3.凸包的内部点是线段的严格凸组合：
2、凸包的内部点可以表示为凸包中两个或多个点的严格凸组合。这种组合意味着每个点权重为正，并且权重之和为 1。凸包的极值点性质：1.凸包的极值点位于边界上：有限点集的凸包的极值点（最大值和最小值）总是位于凸包的边界上。这是因为凸包是凸的，其极值点必须在边界上。2.凸包的极值点是有限的：有限点集的凸包的极值点数量是有限的。这是因为凸包具有有限的维数，并且其极值点只能位于有限个方向上。3.凸包的极值点可以唯一确定：在一般情况下，有限点集的凸包的极值点可以唯一确定。这是因为凸包的边界是分段线性的，极值点是线段的端点。凸包的凸性性质凸包的计算方法：1.扫描线算法：扫描线算法是一种计算凸包的通用算法。它通过水
3、平扫描点集并维护一个凸多边形作为当前凸包来工作。该算法的复杂度为 O(n log n)，其中 n 是点集中的点数量。2.快速凸包算法：快速凸包算法是一种基于分治法的凸包计算算法。它将点集递归地分解成较小的子集，计算每个子集的凸包，然后合并这些凸包。该算法的复杂度为 O(n log h)，其中 h 是凸包的直径。3.分治算法：分治算法是一种基于分治法的凸包计算算法。它将点集递归地分解成较小的子集，计算每个子集的凸包，然后合并这些凸包。该算法的复杂度为 O(n log n)，其中 n 是点集中的点数量。格雷厄姆扫描算法有限点集的凸包有限点集的凸包 格雷厄姆扫描算法1.算法原理：-将点集按极角从左到
4、右排序。-从极角最小的点开始，依次加入点。-维持一个凸包栈，遇到右转点时弹出栈顶点。2.算法复杂度：-时间复杂度：(nh)，其中 n 为点集大小。-空间复杂度：O(n)。3.算法优化：-预处理点集以加速排序。-使用栈代替队列来维护凸包。-对于共线点，采用特殊处理方法。极角排序1.极角定义：-极角是指从原点到一个点沿逆时针方向形成的角。-极角范围为 0,2。2.极角计算：-使用 atan2(y,x)函数计算点(x,y)的极角。-考虑四象限的情况，并进行相应的调整。3.点集排序：-将点集按极角升序排序。-极角相同的点按距离原点递减排序。格雷厄姆扫描算法 格雷厄姆扫描算法1.栈数据结构：-栈是一种先
5、进后出(LIFO)的数据结构。-用栈来维护凸包，满足左转条件。2.凸包定义：-凸包是一个包含给定点集所有点且没有凹点的最小凸多边形。-凸包栈中的点按逆时针顺序排列。3.栈的维护：-新加入的点为左转点时，压入栈中。-新加入的点为右转点时，弹出栈顶点，并继续插入。右转点判定1.向量叉积：-向量叉积用于判断两个向量是否右转或左转。-公式：v1 x v2=x1y2-x2y1。2.右转条件：-对于三个连续点(p1,p2,p3)，如果(p2-p1)x(p3-p2)0，则 p2 为右转点。3.特殊情况：-如果 p2 与 p1 或 p3 共线，则 p2 不为右转点。凸包栈 分治求凸包有限点集的凸包有限点集的凸
6、包 分治求凸包分治求凸包1.将点集递归地分成两个大小相等的子集，并分别计算其凸包。2.找到两个子凸包的公共切线，并以此切线将两个子凸包连接起来。3.对于连接点的凸包，判断它是否包含其他点。如果包含，则用该凸包更新子凸包。凸包与三角剖分1.凸包的三角剖分是将凸包划分成若干个三角形，使得每个三角形都是凸的。2.三角剖分可以用于计算凸包的面积、周长等几何性质。3.对于给定的凸包，存在多种不同的三角剖分方式。分治求凸包凸包与线性规划1.线性规划问题可以转化为求取一个凸集的极点，而凸包恰好是凸集的一个边界表示。2.通过计算凸包，可以有效地解决线性规划问题。3.凸包的算法与线性规划算法密切相关，且可以相互
7、转换。凸包与图形学1.凸包可以用于求取多边形的最小外接矩形、多边形的透视投影等图形学相关问题。2.凸包的算法在计算机图形学中有着广泛的应用，例如阴影生成、碰撞检测等。3.随着图形学技术的不断发展，凸包算法也面临着新的挑战和机遇。分治求凸包凸包与机器学习1.凸包可以用于特征提取、聚类分析等机器学习任务。2.凸包的算法能够帮助提高机器学习模型的效率和准确性。3.随着机器学习的蓬勃发展，凸包算法在该领域也得到了越来越多的关注和应用。凸包与计算几何1.凸包是计算几何中的一个基本概念，广泛应用于各种几何算法中。2.凸包的算法是计算几何中重要的研究领域，不断涌现出新的算法和优化技术。3.凸包算法在计算机辅
8、助设计、机器人路径规划等实际应用中有着重要的意义。增量法求凸包有限点集的凸包有限点集的凸包 增量法求凸包1.逐点添加：将点集中的点逐个添加到凸包中，每次添加后更新凸包。2.凸包结构：凸包通常由顶点集合和边集合组成，通过维护凸包的结构来实现增量更新。3.增量更新：每次添加一个点时，需要检查新点是否落在凸包外。如果是，则需要修改凸包的结构，添加新顶点并调整边集合。围包裹法1.包络线：从点集的凸包开始，逐步构造一个外凸多边形，直到完全包裹点集。2.每次扫描：选择一个点作为扫描线，并计算与扫描线相交的凸包边。3.凸包更新：将扫描线与相交边的交点添加到凸包中，并更新凸包的结构。凸包的增量构造 增量法求凸
9、包极角排序法1.极角计算：计算点集中的所有点相对于某个基点（通常为点集中的极左点）的极角。2.按极角排序：将点集中的点按极角从小到大排序。3.凸包构造：以排序后的第一个点为起点，逐个添加点，直到碰到与之前的点形成凸角的点。这些点将构成凸包的边。扫描法1.水平扫描：从左到右水平扫描点集，并在每个扫描位置检查点是否落在当前凸包的外部。2.凸包更新：如果发现有点落在外部，则在当前凸包的边界上找到该点与凸包相交的边，并更新凸包结构。3.算法优化：可以利用数据结构（如平衡搜索树）来优化扫描过程，加快凸包更新的速度。增量法求凸包MonotoneChain1.单调性：将点集中的点按凸包中边的单调性进行划分。
10、2.单调链：对于每一段单调的边，构造一个单调链，包含该边上的所有点。3.凸包构造：将所有单调链连接起来，就构成凸包的边界。快速凸包1.基于两分：使用两分法在点集中找到一个点对，其连接线将点集分成两个部分。2.递归求解：对这两个部分分别递归求解凸包，再合并两个部分的凸包得到整个点集的凸包。3.算法优化：通过合理的排序和数据结构选择，可以优化快速凸包算法的性能。凸包的面积和周长计算有限点集的凸包有限点集的凸包 凸包的面积和周长计算凸包面积计算1.多边形面积公式：将凸包分解为一系列三角形，计算每个三角形的面积并求和即可得到凸包面积。2.叉积法：利用凸包顶点的坐标和叉积，计算凸包面积的半值。具体公式为
11、：面积=1/2*(xi*yi+1)-(xi+1*yi)。3.旋转卡壳法：首先将凸包顶点按极角从小到大排序，然后旋转扫描线，计算每条边的平行四边形面积，最后求和得到凸包面积。凸包周长计算1.顶点求和法：遍历凸包的所有顶点，将每个顶点到相邻顶点的距离求和即可得到凸包周长。2.旋转卡壳法：与面积计算类似，旋转扫描线，计算每条边的平行四边形面积，并将其周长贡献累加即可得到凸包周长。3.Jarvis算法：从凸包上的任意一点出发，每次选择离当前点最远的未访问点作为下一个点，这样经过若干次操作后，就能找到凸包上的所有顶点，从而计算周长。凸包在几何和算法中的应用有限点集的凸包有限点集的凸包 凸包在几何和算法中
12、的应用主题名称：凸包的几何特性1.可视化与直观理解：凸包提供了一组点的几何表示，使其易于可视化和理解复杂数据集的分布。2.形状分析与模式识别：凸包的形状和尺寸可以揭示数据的形状、模式和异常值，有助于发现和解释数据中的潜在模式。3.几何优化与逼近：凸包提供了数据点最小的凸包络，在几何优化、近似算法和形状建模中具有广泛的应用。主题名称：凸包的算法应用1.最小包围矩形：凸包可用于计算一组点的最小包围矩形，这在图像处理、计算机视觉和空间数据分析中至关重要。2.最近邻搜索：使用凸包可以快速搜索一组点中最接近给定查询点的点，提高了空间数据的检索效率。3.路径规划与机器人导航：凸包在路径规划和机器人导航中用
13、于计算障碍物的凸包络，以避免碰撞和优化运动。凸包在几何和算法中的应用主题名称：凸包在机器学习中的应用1.Clustering 分簇：凸包可以作为一种聚类算法，将数据点分组到凸的子集，帮助识别数据中的潜在簇或社区。2.Support Vector Machines 支持向量机：凸包在支持向量机中用于最大化分类超平面的间隔，提高机器学习模型的分类精度。凸包的其他相关问题有限点集的凸包有限点集的凸包 凸包的其他相关问题计算凸包的算法1.格雷厄姆扫描算法：一种基于极角排序的算法，复杂度为 O(n log n)，其中 n 为点集的大小。2.安德鲁算法：一种基于霍尔凸包构造的算法，复杂度为 O(n h)，
14、其中 h 为凸包中点的数量。3.快速凸包算法：一种基于分治思想的算法，复杂度为 O(n log h)，在实践中具有较好性能。凸包的应用1.图像识别：用于提取图像中对象的轮廓和特征。2.计算机图形学：用于生成三维模型的骨架和表面。3.地理信息系统：用于表示区域和边界，例如多边形和凸多边形。凸包的其他相关问题凸包的变体1.加权凸包：考虑点集中的权重，计算一个加权平均的凸包。2.动态凸包：处理随着时间而改变的点集，增量地更新凸包。3.近似凸包：在实际应用中，使用近似算法计算近似凸包。凸包的性质1.凸性的定义和性质：凸包是凸集的最小凸包。2.Jarvis定理：凸包包含了点集中的所有其他点。3.Cara
15、thodory定理：凸包最多由 d+1 个点决定，其中 d 是点集的维数。凸包的其他相关问题凸包的复杂度1.最坏情况复杂度：对于 n 个点，计算凸包的复杂度通常为 O(n log n)或 O(n h)，其中 h 为凸包中点的数量。2.平均情况复杂度：实际应用中，点的分布和凸包的形状会影响算法的复杂度。3.高维凸包：在高维空间中，凸包的计算变得更加困难，导致算法复杂度更高。凸包的趋势和前沿1.流形学习：利用凸包来提取高维数据的低维流形结构。2.深度学习中的凸优化：凸包在深度学习模型的训练和优化中得到应用。3.在线和动态凸包算法：处理不断变化的点集，以高效的方式更新凸包。数智创新数智创新 变革未来变革未来感谢聆听Thank you
