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1、微分中值定理证明中辅助函数的构造1原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的换成X;(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数(等式中不含导数符号)，并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数F(x).例1:证明柯西中值定理.分析：在柯西中值定理的结论f(b)f(a)上g中令X,得g(b)g(a)g()有 f(x) f(b) f(a)gg(x) 0 故g(b) g(a)f(b)f(a)5)，先变形为f(b)f(a)gg(x)f(x)再两边同时积分得g(b)
2、g(a)g(x)g(b)g(a)f(b)f(a)gg(x)f(x)C,令C0g(b)g(a)F(x)f(x)f(b)f(a)gg(x)为所求辅助函数.g(b)g(a)例2:若a0,ai,a2,，a。是使得a0a1a230的实数.证明方程23n1aoaxa2x2anxn0在(0,1)内至少有一实根.证：由于(a0a1xa2x2anxn)dxa0xa1x20*3-an-xn1C23n1并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设F(x)a0xa1x2a2x3-a-xn1(取C0),则23n11) F(x)在0,1上连续2) F(x)在(0,1)内可导3) F(0)=0,F(1)a。宗孑2
3、023n1故F(x)满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)使F()0,即za1 2(ax-x2a2 3一 x3an yn xn 11)x0 亦即 a0ala2 2 an n 0 .这说明方程aoaxa2x2anXn0在(0,1)内至少有实根x2积分法对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数.例3:设f(x)在1 , 2上连续，在11,2)内可导,fpf(2)2.证明存在(1,2)使f()fJ分析：结论变形为f()2f()0,不易凑成F(x)x0.我们将换为x,结论变形为Ux20,积分得：lnf(x)2lnxln与lnc,即*c,从而f(x)xxx可设辅助函数为F(x)上孕
4、，有F(1)F(2)1,本题获证.x2例4:设函数f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内可微，f(a)f(b)0.证明存在(a,b),使得：f()f()g()0.证：将f()f()g()0变形为f()f()g()胃g)，将换为x,则g(x),两边关于x积分，得：f(x)f(x)1Tdxg()dx-df(x)dg(x)Inf(x)g(x)C,所以f(x)f(x)f(x)exp(g(x)C)exp(g(x)gexp(C)Kexp(g(x),其中Kexp(C),由f(x)Kexp(g(x)可得Kf(x)exp(g(x).由上面积分的推导可知，f(x)exp(g(x)为一常数K,故其导数必为
5、零，从整个变形过程知，满足这样结论的的存在是不成问题的.因而令F(x)f(x)exp(g(x),易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证.3几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数.例5:证明拉格朗日中值定理.分析：通过弦AB两个端点的直线方程为yf(a)工(b)-f-(-a)(xa),则函数f(x)与ba直线AB的方程之差即函数F(x)f(x)f(a)fb)9)(xa)在两ba个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数.例6:若f(x)在a,b上连续且f(a)a,f(b)b.试证在(a,b)内至少有一点使f().分析：由图可
6、看出，此题的几何意义是说，连续函数yf(x)的图形曲线必跨越yx这一条直线，而两者的交点的横坐标，恰满足f().进而还可由图知道，对a,b上的同一自变量值x,这两条曲线纵坐标之差f(x)x构成一个新的函数g(x),它满足g(a)0,因而符合介值定理的条件.当为g(x)的一个零点时，g()0恰等价于f().因此即知证明的关键是构造辅助函数g(x)f(x)x.4常数k值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：1)将结论变形，使常数部分分离出来并令为k.2)恒等变形使等式一端为a及f(a)构成的代数式，另一端为b及f(b)构成的代数式.3)观察分析关于端点的表达式是否为对称式.若是，则把其中一个端点
7、设为x,相应的函数值改为f(x).4)端点换变量x的表达式即为辅助函数F(x).(a,b),例7:设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，(0ab),试证存在一点使等式f(b)f(a)lnaf()成立.b分析：将结论变形为f(b)f(a)f(),令kf(b)f,则有InbInaInbInaf(b)klnbf(a)kIna,令bx,可得辅助函数F(x)f(x)kInx.例8:设f(x)在a,b上存在，在acb,试证明存在(a,b),使得f(a)f(b)f(c)1、f()(ab)(ac)(ba)(bc)(ca)(cb)2分析：令一口一一也一一上一k,于是有(ab)(ac)(ba)(bc)(c
8、a)(cb)(bc)f(a)(ab)f(c)(ca)f(b)k(ab)(ac)(bc),上式为关于a,b,c三点的轮换对称式，令bx(or：cx,or：ax),则得辅助函数F(x)(xc)f(a)(ax)f(c)(ca)f(x)k(ax)(ac)(xc).5分析法分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论.例9:设函数F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，证明在(0,1)内存在一点C,使得F(1)F(0)(e1cec)F(C).分析：所要证的结论可变形为：F(1)F(0)(e1cec)F(c)ejF(c),即eFF(0)F4c),因此可构造函数G(x)ex,
9、则对F(x)与G(x)在0,1上应用柯e1e西中值定理即可得到证明.例10:设函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,对任意x(0,1)有f(x)0.证明存在一点(0,1)使更qU1)(n为自然数)成立.f()f(1)分析：欲证其成立，只需证nf()f(1)f(1)f()0由于对任意x(0,1)有f(x)0,故只需证：n(f()n1f()f(1)f(1)(f()n0即(f(x)nf(1x),x0,于是引入辅助函数F(x)(f(x)nf(1x)(n为自然数).例11：设函数f(x)在区间0,上可导，且有n个不同零点：0XiX2Xn.试证af(x)f(x)在0,+内至少有n
10、1个不同零点.(其中，a为任意实数)证明：欲证af(x)化)在0,+)内至少有n1个不同零点，只需证方程af(x)f(x)=0在0,+内至少有n1个不同实根.因为，x0,+),eax0,故只需证方程eaxaf(x)f(x)0在0,+)内至少有n1个不同实根.引入辅助函数F(X)eW),易验证F(X)在区间X,X2,X2,X3,，XnXn上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这n1个区间上应用罗尔定理，得F(1)F(2)F(n1)0,其中1(X1,X2),2(X2,X3)-n1(出)且012n1以上说明方程F(X)0在x1,X2UX2,X3U-UXn1,Xn0,+内至少有n1个不同实根，从而证明了方
11、程af(x)f(x)=0在0,+内至少有n1个不同实根.6待定系数法在用待定系数法时，一般选取所证等式中含的部分为M,再将等式中一个端点的值b换成变量x,使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数(x),这样首先可以保证(b)=0,而由等式关系(a)=0自然满足，从而保证(x)满足罗尔定理条件，再应用罗尔定理最终得到待定常数M与f()之间的关系.例12：设f(x)是a,b上的正值可微函数，试证存在(a,b),使lnf(b)f(a)f() f()(b证明：设lnf(b)M(ba),令(x)ln上凶M(xa)容易验证(x)在a,b上f(a)f(a)满足罗尔定理条件, f(b) ()小In(bf(a
12、) f()例13:设函数使 2 f(b) f (a)由罗尔定理，存在(a,b)使()0,解得MfD,故f()a).f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点22-(ba)f().证明：将所证等式看作f(b)f(a)(b2a2)fg,设f(b)f(a)M(b2a2),2令(x)f(x)f(a)M(x2a2),则(x)满足罗尔定理条件，由罗尔定理得，存在一点(a,b),使()0,即f()2M，若=0,则f()0,结论成立；若0,f()则M(),从而有2f(b)f(a)f()(b2a2).2例14:设0xix2,则存在(为心)使xgx2xze、e(1)(xx2).分析：
13、对于此题设xiex2xzex1M(xix?)作函数(x)xexxex1M(xx).应用罗尔定理可得存在国2),使()0,即x1eex1M0,从而Me为xe,这样并不能证明原结论，遇到这种情况，说明所作的辅助函数不合适，则需要将所证明的等式变形，重新构造辅助函数.ox2ox1x2ox1证明：将所证等式变形为e(1)(12),设IM(工工)，xx1令(x) 2 2 x K(x1,x2),使x2x1x2x1x2x1x2x1M(1)，则(x)满足罗尔定理条件，用罗尔定理可得存在xx1*ee1()0,即2M=0,于是M(1)e，故Xex2x2ex1e(1)(x1x2).总之，证明微分中值命题的技巧在于：一是要仔细观察，适当变换待证式子;是要认真分析，巧妙构造辅助函数.抓住这两点，即可顺利完成证明.
