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1、第一章概率论的基本概念1随机试验1 .对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验 .2 .随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间，记为S e , 称S中的元素e为基本事件或样本点.3 .可以在相同的条件下进行相同的实验；每次实验的可能结果不止一 个，并且能事先明确试验的所有可能结果；进行一次试验之前不能确 定哪一个结果会实现.4 .样本空间、随机事件1 .对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的 所有可能结果组成的集合是已知的.我们将随机试验E的所有可能结 果组成的集合称为E的样本空间，记为S样本空间的元素，即E的每 个结果称为样本点.2 .一般我们称S的子集A为E的
2、随机事件A,当且仅当A所包含的一个 样本点发生称事件A发生.如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发 生，故又称S为必然事件。为方便起见，记 为不可能事件， 不包 含任何样本点.3 .若A B,则称事件B包含事件A,这指的是事件A发生必导致事 件的发生。若A B且B A,即A B,则称事件A与事件B相等.4.和事件A Bx M x A : A与B至少有一发生5 .当AB 时，称事件A与B不相容的，或互斥的.这指事件A与事件 B不能同时发生.基本事件是两两互不相容的.A勺逆事件记为A, AUA S,若 AU A S,则称A, B互逆，互斥 AAAB6 .当且仅当A, B同时发生时，事件 Ap B发
3、生.Ap| B也记作AB.当且仅当A, B同时发生时，事件 AB发生，Ap| B也记作AB.7 .事件A的对立事件：设 A表示事件 A出现”，则“事件A不 出现”称为事件 A的对立事件或逆事件.事件间的运算规律：设A, B, C为事件，则有(1)交换律： A(Jb b|Ja, AB BA(2)结合律：(a|Jb)Uc aJ(bJc), (AB)C A(BC)(3)分配律：(aUb)C (ApC)J(BpC) ACJBC(4 ) de Morgan 律：A由 AB,五 AUB3.频率和概率1 .记 fnA nA n其中nA期生的次数(频数)；n总试验次数.称fn(A)为A在这曲试验中发生的频率.
4、频率fn(A反映了事件A发生的频繁程度.2 .频率的性质：T 0 fn(A) 12 fn(S) 13若A,A2,A两两互不相容，则fn( A)fn(A)3 .当重复试验次数n逐渐增大时，频率fn(A)呈现出稳定性，逐渐稳定 于某个常数.这种“频率稳定性”即通常所说的统计规律性 .我们让试 验重复大量次数，计算频率fn (助它来表征事件A发生可能性的大小 是合适的.f随A)的增大渐趋稳定，记稳定值为p. f阚值p定 义为A的概率，记为P(A) p.4 .概率定义：设E是随机试验，S是它的样本空间.对于E的每一个事 件A赋予一个实数，记为P(A),称为事件A的概率.满足下列条件：(1)非负性：对于
5、每一个事件 A,有P(A) 0;规范性：对于必然事件S,有P(S) 1;(3)可列可加性：设%外,|是两两相互不相容的事件，即对于 i j, AAj, i,j 1,24|,则有P A IJa U PA P A2 ；5 .概率定义推得的重要性质.(1) P( ) 0(2)有限可加性 若A1A2A3An是两两互不相容的事件则有PA1UA2 LK P(A) PA P(An)(3)对于任一事件 P(A) 1(4)对于任一事件 A有 P(A) 1 P A(5) P(aJb) P(A) P(B) P(AB)4.等可能概型(古典概型)1.当试验的样本空间只含有有限个元素，并且试验中每个基本事件发生的可能性相
6、同，具有这样特点的试验是大量存在的， 则称这种试验 为等可能概型.它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为等可能概型.A 包含的基本事件数S中基本事件的总数即是等可能概型中事件A的概率的计算公式5.条件概率1.条件概率定义：设A,B是两个事件，且P(A)0,称 P(B| A)P(AB)P(A)为在A事件发生条件下B事件发生的条件概率.2 .符合条件概率的三个条件，即：(1)非负性对于每一事件 B,有 P BA 0(2)规范性对于必然事件S,有 P SA 1(3)可列可加性 设B1B2IM是两两互不相容的事件，则有p |Jb|ap bJa3 .乘法定理：设P A 0,则有 P AB P
7、B|A P A推广：一般设 AAjHAn为n个事件，n 2,且P人闻|入1 0有 P(AAjh) P(AlAA2111An1)P(An/AA2111An2)| P(AIA)P(A)4 .全概率公式：设试验E的样本空间为S, A为E的事件，B1,B2,.,Bn为S的一个划分，且P(B) 0(i 1,2,.,n),则P A P A|B P B1P A|B2 P B2口 P A|Bn P Bn5 .贝叶斯公式：设试验E的样本空间为S, A为E的事件，Bi,B2,.,Bn为S的一个划分,且P(B) 0(i 1,2,.,n),则P Bi ABj P Bj6 .独立性1 .定义：设A,B是两事件，如果满足
8、等式P(AB) P(A)P(B),则称事 件A, B相互独立，简称A,B独立.若P(A) 0,P(B) 0,则A, B相互独立与A,B互不相容不能同时成立.2 .定理一：设A,B是两事件，且P A 0,若A,B相互独立，则P B|A = P B .反之亦然.3 .定理二：若事件 A与B相互独立则 A与B, A与B, A与B也相 互独立.4 .推广定义：设A, B,C是三个事件，如果满足等式 P(AB) P(A)P(B),P(BC) P(B)P(C),P(AC) P(A) P(C),P(ABC) P(A)P(B)P(C)则称事件 A, B,C 相互独 立.5 . A, B相互独立A,Bf互独立A
9、, B相互独立A, B相互独立当 P AB P A P B 时P AB P A AB P A P AB P A 1 P B P A P B第二章随机变量及其分布1.随机变量1 .定义：设随机试验的样本空间 S e ,X X e是定义在样本空间S上的实值单值函数，称 X X e为随机变量常见的两类随机变量离散型连续型2 .本书中一般以大写字母如 X,Y,Z,W,.表示随机变量，而以小写字母x, y,z,w,.表示实数.2.离散型随机变量及其分布律1 .定义：有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可 列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量.2 .定义：取值可数的随机变量为离散量.一
10、般地，设离散型随机变量 X所有可能取的值为Xk(k 1,2, )x取各个可能值的概率论，即事件的概率为 P X XkPk,k 1,2,称为离散型随机变量X的分布律。Pk满足如下两个条件：(1) Pk 0Pk 1k 13. (01)分布设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是PX k pkq1 k, k 0,1(0 p 1, p q 1),则称 X 服从(01)分布或 两点分布.(01)分布的分布律也可写成4 .设试验只有两个可能结果：A及A,则称E为伯努利试验.设P(A) p(0 p 1),此时P(A) 1 p,将E独立重复地进行n次，则 称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.P X
11、k C；pkqnk, k 0,1,2,|, nC；pkqn k刚好是二项式(p 8”的展开式中出现Pk的那一项，故称随 机变量X服从参数n,p的二项分布，记为XB(n,p).特别，当n 1时 二项分布化为P X k pkq1 k,k 0,1 ,这就是(0-1)分布.5 .泊松分布设随机变量X所有可能取值为0,1,2.而取各个值的概率为 kP X kk 0,12 ,其中0是常数，k则称X服从参数为 的泊松分布，记为XP()3.随机变量的分布函数1 .分布函数的定义设X是一个连续随机变量，称F(x) p(X x)( x )为X的 分布函数.X是随机变量，x是自变量.由定义，对任意实数 为 x2,随
12、机点落在区间x1,x2的概率为：P x1 X x2P X x2P X x1F(x2) F(x1)2 .分布函数性质0 F(x) 1,x (,)(2)F(x1) F(X2),(x X2)(单调不减性)(3)F() lim F(x) 0,F( ) lim F(x) 1Xx limF(x),(xo)x xo即任一分布函数处处右连续.3 .公式(1)Pa X b F(b) F(a) PX a 1 F(a).4 .连续型随机变量及其概率密度1 .如果对于随机变量 X的分布函数F x ,存在非负函数f(x),使 x对任意实数x有F x f tdt,则称X为连续型随机变量，其中函数f (x)称为X的概率密度
13、函数简称概率密度。在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续型随机变量.2 .概率密度f(x)性质：(1) f(x) 0(2) f x dx 1(3)对于任意实数x1,x2,x1 x2 ,x2P x1 X x2F x2F x1 f x dxx1(4)若f(x)在点x处连续则有 F x f (x)3.均匀分布：设连续型随机变量X具有概率密度1 bf(x)= b a,a x b,则称X在区间a,b上服从均匀分布.记为0,其他X NU a,b .易知 f (x) 0,且 f(x)dx=1.4指数分布：设连续型随机变量X具有概率密度1e x/ x 0一 匚 乙山f x e ，x 0,其中 0为常数，则称X
14、服从参数为的指0,其他数分布.易知f (x) 0,且f(x)dx=1.-5正态分布：设连续型随机变量X具有概率密度2x12 2f x e 22x ,则称X服从参数为，的正态分布特别的，当 0,1时，称X服从标准正态分布.5.随机变量的函数分布定理：设随机变量X具有概率密度fX x , x ,又设函数g(x) 处处可导且恒有g(x) 0(或恒有g(x) 0),则Y=g(X)是连续型随机变 量，其概率密度为fY x ；Xh(y)h(y)其y .第三章多维随机变量及其分布1.二维随机变量1 .设随机试验E的样本空间为：S e ,X e、Y e为定义在S上的 随机变量，由它们构成一个随机向量(X、Y)
15、,叫二维随机向量或二维 随机变量.2 .定义：设二维随机变量(X、Y),对任意实数x、y,二元函数 F(X,Y) P X x,Y y，称为(X、Y)的(联合)概率分布函数.二维随机变量分布函数的性质：(1) F x,y是变量x和y的不减函数，即对任意固定的y ,当X2 X1 时F X2,yF Xi,y ;对于任意固定的x ,当y2 y1时F x,y2F x,yi .(2) 0 F x,y 1,且对于任意固定的 y, F ,y 0,对于任意固定的 x,F x, 0,F,0,F,1.(3) F x,y =F x 0,y , F x, y = F x, y 0 ,即 F x, y 关于 X 右连续， 关于y也右连续. 对于任意X1,y,X2,y2,X2
