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1、第二节测量不确定度的评定与表示考纲要求根据测量不确定度评定与表示方法，分析测量不确定度的来源，评定测量结果的a类和b类标准不确定度分量，处理不确定度分量间的相关性，计算合成标准不确定度，确定测量结果的扩展不确定度。知识点：统计技术应用考纲要求根据测量不确定度评定与表示方法，分析测量不确定度的来源，评定测量结果的a类和b类标准不确定度分量，处理不确定度分量间的相关性，计算合成标准不确定度，确定测量结果的扩展不确定度。离散型随机变量的概率分布一般用分布列表述，如投骰子的取值:x123456p1/61/61/61/61/61/6连续型随机变量的概率分布通常用概率密度函数的积分表示，如:测量值x落在区
2、间a,b内的概率p可用式(332)计算Fg玉工pQMx(332)式中，为概率密度函数，数学上积分代表面积。图I概率分布曲线由此可见，概率PQ&X匕切是概率密度曲线下在区间a,b内所包含的面积，又称包含概率或置信水平。当?(仅自彳4占)=0.9,表明测量值有90%勺可能性落在区间a,b内，该区间包含了概率分布下总面积的90%在(8+8)区间内的概率为1,即随机变量在整个值集的概率为1;(二)概率分布的数学期望、方差和标准偏差1 .期望期望又称(概率分布或随机变量的)均值(mean)或期望值，有时又称数学期望。常用符号表示，也可用e(x)表示被测量x的期望。离散随机变量的期望为*二(X)二二3%i
3、-1=E(X)=旧加连续随机变量的期望为-式中，p(x)为概率密度函数，数学上积分代表面积。期望通俗地说是无穷多次测量的平均值，加权平均值，权重为取该值的概率。期望是概率分布曲线与横坐标轴所构成面积的重心所在的横坐标，所以期望是决定概率分布曲线位置的量。对于单峰、对称的概率分布来说，期望值在分布曲线峰顶对应的横坐标处。因为实际上不可能进行无穷多次测量，因此测量中期望值往往是一个理论值，不能完全准确地获得，但可以通过有限次测量进行估计。2 .方差测量值x的方差用/表示，可写成v(x),是随机变量x的每一个可能值对其期望e(x)的偏差的平方的期望，也就是测量的随机误差平方的期望已知测量值的概率密度
4、函数时，方差可表示为I二（彳-口），（幻dx始tg，由/土I“、日02（用一川”当测量结果为离散值，离散型随机变量时：（T=i-1方差说明了随机误差的大小和测量值的分散程度。但由于方差是平方，与期望的单位不一致，使用不方便，因此引出了标准偏差这个术语。（概率分布或随机变量的）标准差是方差的正的平方根，用符号表示，又可称标准偏标准偏差是表明测量值分散性的参数，6小表明测量值比较集中，6大表明测量值比较分散。4.用期望与标准偏差表征概率分布一般来讲，期望（位置参数）和方差（形状参数）是表征概率分布的两个特征参数。通常用期望和标准偏差来表征一个概率分布。N影响概率分布曲线的位置；对于单峰、对称的概率
5、分布来说，期望值在分布曲线峰顶对应的横坐标处。影响概率分布曲线的形状，表明测量值的分散性。（6小表明测量值比较集中，6大表明测量值比较分散。）（三）有限次测量时的算术平均值和实验标准偏差1 .算术平均值算术平均值x是有限次测量时概率分布的期望N的估计值。算术平均值是其期望的最佳估计值。因此，通常用算术平均值作为被测量期望的最佳估计值，即作为测量结果。在相同条件下对被测量x进行有限次n的重复测量，得到一系列测量值X1,X2,xn,其算术平均值为X-2 .实验标准差用有限次测量的数据得到的标准差的估计值称为实验标准差，用符号s表示。实验标准偏差s是有限次测量时标准偏差b的估计值。最常用的估计方法是
6、贝塞尔公式法，即在相同条件下，对被测量X作以次重复测量，每次测得值为Xi,测量次数为n,则实验标准偏差按式（341）估计（四）正态分布正态分布又称高斯分布，其概率密度函数p（x）为1口一才p(x)=目-(-oax+00)W2不1 .正态分布的特性正态分布曲线：正态分布图，具有如下特征:单峰：概率分布曲线在均值处具有一个极大值;对称分布：正态分布以x=为其对称轴，分布曲线在均值N的两侧是对称的；8时，概率分布曲线以x轴为渐近线;概率分布曲线在离均值等距离（即x二N6）处两边各有一个拐点;分布曲线与x轴所围面积为1,即各样本值出现概率的总和为1;11为位置参数，0-为形状参数。由于艮,6能完全表达
7、正态分布的形态，所以常用简略符号xn（小，）表示正态分布。当=0,（r=1时表示为xn（0,1）,称为标准正态分布。2 .正态分布的概率计算测量值x落在a,b区间内的概率为x6) = | 兀冰二jJ 一用廿七二愉力寸他）式中,称为标准正态分布函数，见表36。表3-6标准正态分布函数表（摘录）1.02.02.583.0小|0.841340.977250.99506|0.99865令6=x,若设g,由于u=(xn)/(T,即：u=6/(T=3,ui=zi=-3,U2=Z2=3按公式计算p(k-3W36二仪3-叭-3)=2短)-1=2X0.99865-1=0.9973同样，加小2加始-故2”2的士2
8、x0切25士。矽5由此可见，区间2，2(7在概率分布曲线下包含的面积约占概率分布总面积的95流右。也就是：当k=2时，置信概率为95.45%=用同样的方法可以计算得到正态分布时测量值落在仙一k-p+kb置信区间内的置信概率，如表3-7所列。置彳S概率与k值有关，在概率论中k被称为置信因子。表3-7正态分布时置信度概率与k值的关系置信概率0.50.68270.90.950.95450.990.9973置信因子0.67511.6451.9622.5763(五)常用的非正态分布1 .均匀分布1均匀分布为等概率分布,又称矩形分布,如图38所示，a+均匀分布的概率密度函数为均匀分布的标准偏差为(343)
9、a+和a分别为均匀分布的置信区间的上限和下限。当对称分布时，可用表示矩形分布的区间半宽度，即a=(a+,-a)/2,则均匀分布的标准差为(344)2 .三角分布三角分布呈三角形，如图39所示。三角分布的概率密度函数为P(x)aa+三角分布的概率密度函数为当一a&x0,p(x)=21(a+x)/a当0&x&a,p(x)=(ax)/a2三角分布的标准偏差为(345)a为置信区间的半宽度3.梯形分布梯形分布的形状为梯形，如图3-10所示P(x)梯形分布的概率密度函数1说1+卜I火1-阴邱现a+x其他设梯形的上底半宽度为Ba,下底半宽度为a,0B1,则梯形分布的标准差为(346)4.反正弦分布反正弦分
10、布如图3-11所示。a+x图311反正弦分布示意图aaP二4反正弦分布的概率密度函数为a为概率分布置信区间的半宽度;反正弦分布的标准偏差为(348)5 .几种非正态分布的标准偏差与置信因子的关系上述几种非正态分布的标准偏差与置信因子的关系列于表3-8中。表38几种非正态分布的标准偏差与置信因子的关系概率分布标准偏差(T置信因子k(p=100%均匀三角a/灰梯形J1+严反正弦6 .t分布t分布又称学生氏分布，是两个独立随机变量之商的分布。如果随机变量x是期望值为小的正态分布，设其算术平均值与其期望之差与算术平均值的实验标准偏差之比为新的随机变量to_5-n_X-L-s（幻（349）该随机变量服从
11、t分布。t分布的概率密度函数为v+1门一?,ir9丁（川内t分布是期望值为零的对称概率分布。kv为自由度，当n00时，t分布趋近于正态分布044图372F分布图（六）相关性和相关系数1 .相关性相关性是描述两个或多个随机变量间的相互依赖关系的特性。如果两个随机变量x和y,其中一个量的变化会导致另一个量的变化，就说这两个量是相关的。例如人的身高和体重，是相关的，吸烟和是否患肺癌是相关的，婴儿尿片的例于守守而今天下不下雨和我吃不吃早饭就不相关。2 .协方差协方差是两个随机变量相互依赖性的度量。两个随机变量x和y的协方差，用符号cov(x,y)或v(x,y)表示8丫(了了)=耿广8-协方差的估计值用
12、s(x,y)表示1_s(“)二rZa-幻5一丹.-I(350)x二-二-式中：n1-1ni-i注意：方差都是非负值，但协方差可取负值。3 .相关系数相关系数也是两个随机变量之间相互依赖性的度量，它等于两个随机变量间的协方差除以它们各自的方差乘积的正平方根，用武察)表示。相关系数的估计值用r(x,y)表示，用式(351)求得Za-欧为团za-欧巧用“工力Z；=(n-1)E(x)s(y)28广力(3(3(3(351)式中，s(x)和s(y)分别为x和y的实验标准差。4 .相关系数与协方差的关系(1)相关系数是一个纯数字，相关系数的值在1到+1之间，它表示两个量的相关程度，通常比协方差更直观。相关系
13、数为零，表示两个量不相关；相关系数为+1,表明x与y正全相关(正强相关)，即随着x增大y也增大；相关系数为一1,表明x与y负全相关(负强相关)，即随着x增大y变小。(2)协方差估计值s(x,y)与相关系数估计值r(x,y)的关系(352)式工/)s(x)s(y)(353)式中，s(x)和s(y)分别为x和y的实验标准偏差。知识点：gum法评定不确定度的一般步骤测量不确定度的评定应依据jjfl059进行，该规范现在分为两部分:jjf1059.12012。测量不确定度评定与表示，又称为gum评定方法或gum法。jjf1059.2-2012用蒙特卡洛法评定不确定度如果相关国际组织已经制订了某种计量标
14、准所涉及领域的测量不确定度评定指南，则在这些指南的适用范围内时，测量不确定度评定也可以依据这些指南进行。gum法评定测量不确定度的步骤：(1)明确被测量，必要时给出被测量的定义及测量过程的简单描述；(2)列出所有影响测量不确定度的影响量(即输入量Xi),并给出用以评定测量不确定度的数学模型；(3)评定各输入量的标准不确定度u(Xi),并通过灵敏系数c进而给出与各输入量对应的不确定度分量为-q3),(4)计算合成标准不确定度uc(y),计算时应考虑各输入量之间是否存在值得考虑的相关性，对于非线性数学模型则应考虑是否存在值得考虑的高阶项；(5)列出不确定度分量的汇总表，表中应给出每一个不确定度分量的详细信息；(6)对被测量的概率分布进行估计，并根据概
