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1、10.1 第一型曲线积分习题10.11. 设在面内有一分布着质量的曲线弧，在点处它的线密度为。用第一型曲线积分分别表达（1） 这曲线弧对轴、对轴的转动惯量解：（2） 这曲线弧的质心坐标解：2. 计算下列第一型曲线积分：（1）其中为圆周解：（2）其中为连接及两点的直线段。解：（3）其中为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界。解：（4）其中为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。解：（5）其中为曲线上相应于从变到的这段弧。解：（6）其中为折线，此处依次为点解：所以(7) 其中为摆线的一拱解：（8）其中为曲线解：(9) 其中为曲线解：(10) 其中为圆周解： (11) 其中为由三点所连接
2、的闭折线。解： （12）其中为螺旋线解：（13）其中为抛物线自点到点的一段；解：（14）其中为内摆线的弧；解：（15）其中为圆周解：3. 求半径为的半圆形金属丝（设线密度为常数）对位于圆心的质点（设质量为）的引力。解：设圆心为原点，金属丝占据上半圆周。则4. 求物质曲线的质量，其线密度解：5. 求半径为，中心角为的均匀圆弧（线密度）的质心。解：设圆心在原点，关于轴对称，则；6. 设螺旋形弹簧一圈的方程为其中，它的线密度。求（1） 它关于轴的转动惯量（2） 它的质心。解：（1）（2）10.2 第二型曲线积分习题10.21. 设为面内直线上的一段。证明：证明：设则2. 设为面内轴上从点到点的一段直
3、线。证明：证明：则3. 计算下列第二型曲线积分：（1）其中为抛物线上从点到点的一段弧；解：（2）其中为圆周及轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；解：圆周的参数方程为所以（3）其中为圆周上对应从到的一段弧；解：（4）其中为圆周（按逆时针方向绕行）；解：（5）其中为曲线上对应从到的一段弧；解：(6) 其中为从点到点的一段直线；解：（7）其中为有向闭折线，此处依次为点解：（8）其中为抛物线上从点到点的一段弧；解：（9）其中为沿逆时针一周；解：(10) 其中为如图10.8由点到点的四条不同的路径；解：（11）其中为如图10.9的三角形；解：（12）其中为用平面截球面所得的截痕，
4、从轴的正向看去，沿逆时针方向；解：（13）其中为曲线上由到的一段弧；解：4. 计算其中为由点到点的下列四条不同路径：（1） 直线解：（2） 抛物线解：（3） 抛物线解：（4） 立方抛物线解：5. 计算其中分别为下列两种情形：（1） 连接的直线段。解：（2） 连接的折线段。解：6. 计算其中分别为下列两种情形：（1）连接的直线段。解：（2）连接的折线段。解：7. 计算其中为以为顶点的正方形闭路。解：8. 计算其中为星形线在第一象限中自点到的一段。解：9. 计算其中为依参数增加方向进行的曲线：解：10. 计算其中，分别为下列两种情形：（1）自到的直线段；（2）由直到的折线段。解：(1) (2)11
5、. 计算其中为球面在第一卦限部分的边界线由点至再至的一段。解：12. 弹性力的方向向着坐标原点，力的大小与质点到坐标原点的距离成正比。设质点在力作用下沿椭圆依逆时针方向运动一周，求弹性力做的功。解：13. 计算其中为圆周其方向为从轴正向看去，这圆周是沿逆时针方向进行的。解：14. 设在光滑曲线上连续。试证下面的估计式：其中为积分路径的长度，证明：15. 计算其中分别为（1） 抛物线上从点到点的一段弧；解：（2） 从点到点的直线段；解：（3） 先沿直线从点到点，然后再沿直线到点的折线；解：（4） 曲线上从点到点的一段弧；解： 16. 一力场由沿横轴正方向的恒力所构成。试求当一质量为的质点沿圆周按
6、逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功。解：17. 设轴与重力的方向一致，求质量为的质点从位置沿直线移到时重力所做的功。解：，18. 把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为(1) 在面内沿直线从点到点；解：(2) 沿抛物线从点到点；解：(3) 沿上半圆周从点到点；解：19. 设为曲线上相应于从变到的曲线弧。把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分。解：切向量为，单位化为所以10.3 格林公式及其应用习题10.31. 计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：（1）其中为由抛物线和所围成的区域的正向边界曲线；解：（2）其中为由四个顶点分别为和的正方形区域的正向边界；解：2. 利
7、用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：（1） 星形线 （2） 椭圆 （3） 圆 （4） 椭圆 （5） 双纽线 3. 计算曲线积分其中为圆周的方向为逆时针方向。解：，所以取则有4. 计算下列曲线积分：（1）其中为摆线上对应从到的一段弧。解：设直线段，则（2）其中为上半圆周沿逆时针方向。解：设直线段，则5. 证明下列曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值：（1）解：易得，所以曲线积分在整个面内与路径无关，(2) 解：易得，所以曲线积分在整个面内与路径无关，（3）解：易得，所以曲线积分在整个面内与路径无关，6. 利用格林公式，计算下列曲线积分：（1）其中为三顶点分别为和的三角形正向边界；解：
8、(2) 其中为正向星形线解：(3) 其中为在抛物线上由点到的一段弧；解：记（4）其中为在圆周上由点到点的一段弧；解：记(5) 其中为椭圆解： (6) 其中为圆周解： (7) 其中为的边界，其中解： （8）其中为区域与的边界；解： (9) 其中为区域与的边界；解： (10) 其中为由点经至的上半圆周解：令，则 7. 设一变力为这变力确定了一个力场。证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。证明：易得所以结论成立。8. 计算曲线积分其中，为任意的逐段光滑的曲线。解：易得，所以9. 设是以逐段光滑曲线为边界的平面有界闭区域，在上有连续的偏导数，则有关系式其中为曲线的外法向量的方向余弦。此公式是
9、格林公式的另一种形式。证明：设正方向切向量为，则，于是10. 曲线积分是否与路径无关？若与路径无关，求其原函数。并计算由点到的曲线上的积分。解：易得所以积分与路径无关。11. 设为封闭曲线，为任一固定的方向，则有其中为的外法线单位法向量。证明：设，则12. 计算曲线积分其中为封闭曲线，为它的外法线方向。解：为曲线包围的面积。13. 证明：在整个平面除去的负半轴及原点的区域内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数。证明：易得结论成立。14. 设在半平面内有力构成力场，其中为常数，。证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关。证明：，所以结论成立。15. 设函数在内具有一阶连续导数，是
10、上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为。记（1） 证明曲线积分与路径无关；（2） 当时，求的值。（1） 证明：设则，所以曲线积分与路径无关；（2）16.验证下列在整个平面内是某一函数的全微分，并求这样的一个：（1）解：。（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：17.设有一变力在坐标轴上的投影为这变力确定了一个力场。证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。证明：所以结论成立。18.判别下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解：（1）解：（2）为常数）。解：（3）解：（4）解：（5）解：(6) 解：不是全微分方程。（7）解：。(8) 解：不是全微分方程。19.确定常
11、数，使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度，并求。解：可解得由积分得再由得所以20.设在闭区域上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线为的正向边界曲线。证明：（1）其中为的外法向的方向导数。（2）（3）(4)其中其中分别为沿的外法线向量的方向导数，符号称作二维拉普拉斯算子。证明:（1）（2），所以（3）相减即得（4）21.设在有界闭区域上调和，即且在上满足拉普拉斯方程。证明(1)其中为的边界，为的外法线方向；（2）若在上取值为零，则在上恒为零。证明：（1）（2）所以，为常数，又因为边界上为零，所以在上恒为零。10.4 第一型曲面积分习题10.41. 设有一分布着质量的曲面，在点处它的面密度为，用
12、第一型曲面积分表示这曲面对于轴的转动惯量。解：2. 计算曲面积分其中为抛物面在面上方的部分，分别如下：（1）解：(2) 解：(3) 解：3. 计算其中为（1） 锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面；解：（2） 锥面被平面和所截得的部分；解：4. 计算下列对面积的曲面积分：（1）其中为平面在第一卦限中的部分；解：（2）其中为平面在第一卦限中的部分；解：（3）其中为球面上的部分；解：（4）其中为界于平面及之间的圆柱面解：另一解法：（5）其中为由平面及三个坐标平面所围成四面体的整个边界。解：5. 求抛物面壳的质量，此壳的面密度为。解：6. 求面密度为的均匀半球壳关于轴的转动惯量。7. 求均匀曲面的质
13、心的坐标。解：8. 计算其中为螺旋面解：所以9. 计算其中为圆锥表面的一部分，其中为常数解：所以10. 求一段均匀圆柱面与对原点处单位质量的引力（面密度）。解：10.5 第二型曲面积分习题10.51. 设流体速度场为常数），一半径为的球面球心在原点。求流体从球面内部流出的流量。解：2. 设流体速度场求单位时间内流过曲面其中）的流量，曲面的法向量与轴的夹角为钝角（图10.28）。解：3. 设向量场求，其中由和组成（图10.29），为侧的单位法向量。解：4. 同3题，设向量场求其中由和组成，为侧的单位法向量。解：5. 计算下列第二型曲面积分：（1）其中为球面的下半部分的下侧；解：（2）其中为柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧；解：（3）其中为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧；解：（4）其中为平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；解：（5）其中为曲面的下侧；解：（6）其中，为球面的外侧；解：（7）其中为球面的外侧；解：（8）其中为锥面及平面所围立体的整个边界之外侧；解：(9) 其中为椭球面的外侧；解：由轮换对称性，得(10) 其中为柱面被平面及所截部分的外侧；解：（11）其中为圆锥面的外表面；解
