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1、 数学归纳法数学归纳法一.知识梳理(1) 数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题，若1P(n0)成立(奠基)2假设P(k)成立(kn0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立 (2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明 恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等 二常用公式（放缩法）1 23( 4()5（待学） 6 （待学）二放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量，使，由到叫做“放”，由到叫做“缩”.常用的放缩技巧（1）若（2） ，（3）（4）（5）若，则（6）（7）（因为）（7） 或（8）等等。二
2、、典型例题讲解【例1】(09山东) 等比数列的前n项和为，已知对任意的，点均在函数的图象上均为常数)（）求r的值。（）当b=2时，记求证：对任意的不等式成立解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，, 则,所以下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立.【例2】(09陕西）已知数列满足， .猜想数列的单调性，并证明你的结论；()证明：。证（1）由由猜想：数列是递减数列下面用数学归纳法证明：（1）
3、当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即易知，那么 =即也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（2）当n=1时，结论成立当时，易知 三、同步练习一、选择题1已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*都成立，则a、b、c的值为 ()Aa，bc Babc Ca0，bc D不存在这样的a、b、c2.(1)已知，则（ ）A BC. D3用数学归纳法证明能被8整除时，当时， 可变形为（） 4.（1）已知=,=,则的值分别为_，由此猜想=_.（2） 设， 求证: (放缩法)5.已知数列 是等差数列， =, =145.(1)求数列的通项公式;(2
4、)设数列的通项= (其中a0且a1)记是数列的前n项和，试比较与的大小，并证明你的结论.6.设实数q满足|q|1,数列满足：, 0, =,求表达式，又如果3,求q的取值范围.7（2010重庆卷C）在数列中，其中实数 () 求的通项公式；() 若对一切有，求c的取值范围8（2010全国卷C）已知数列中， .（）设，求数列的通项公式；（）求使不等式成立的的取值范围 . 9（10广州）设为数列的前项和，对任意的N，都有为常数，且（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足 ，N，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列的前项和10（010深圳）在单调递增数列中，且成等差数
5、列，成等比数列，（放缩法）（1）分别计算，和，的值；（2）求数列的通项公式（将用表示）；（3）设数列的前项和为，证明：，5解：(1)解：设数列的公差为d,由题意得,=3n2(2)证明：由=3n2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+ )而loga（）=loga,于是，比较Sn与loga（）的大小比较(1+1)(1+)(1+)与的大小.取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测：(1+1)(1+)(1+) (*)当n=1时，已验证(*)式成立.假设n=k(k1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)(1+)则当n=k+1时，,
6、即当n=k+1时，(*)式成立由知，(*)式对任意正整数n都成立.于是，当a1时，Snloga（）,当 0a1时，Snloga（）6.解：a1a2=q,a1=2,a20,q0,a2=,anan+1=qn,an+1an+2=qn+1两式相除，得,即an+2=qan于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn猜想：a2n+1=qn(n=1,2,3,)综合，猜想通项公式为an=下证：(1)当n=1,2时猜想成立(2)设n=2k1时，a2k1=2qk1则n=2k+1时，由于a2k+1=qa2k1a2k+1=2qk即n=2k1成立.可推知n=2k+1也成立.设n=2k时，a2k=qk,则n=2k+2时，由于
7、a2k+2=qa2k,所以a2k+2=qk+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.这样所求通项公式为an=S2n=(a1+a3+a2n1)+(a2+a4+a2n)=2(1+q+q2+qn-1) (q+q2+qn)由于|q|1,=依题意知3,并注意1q0,|q|1解得1q0或0q9（1）证明：当时，解得 当时， 即为常数，且， 数列是首项为1，公比为的等比数列 （2）解：由（1）得， ， ，即 是首项为，公差为1的等差数列 ，即（N）（3）证明：由（2）知，则所以 ， 当时， 所以 10解：（1）由已知，得，. （2）（证法1），；，.猜想,，
8、以下用数学归纳法证明之当时，猜想成立；假设时，猜想成立，即,，那么,.时，猜想也成立由，根据数学归纳法原理，对任意的，猜想成立 当为奇数时，；当为偶数时，即数列的通项公式为 （注：通项公式也可以写成）（证法2）令，则，从而（常数），又，故是首项为，公差为的等差数列，解之，得，即， ，从而（余同法1）（注：本小题解法中，也可以令，或令，余下解法与法2类似）（3）（法1）由（2），得显然，； 当为偶数时，； 当为奇数（）时，.综上所述， （解法2）由（2），得以下用数学归纳法证明，当时，；当时，时，不等式成立假设时，不等式成立，即，那么，当为奇数时，；当为偶数时， 时，不等式也成立由，根据数学归纳法原理，对任意的，不等式成立- 1 -
