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1、第11讲 充分条件与必要条件(解析版)【高中新知识预习篇】 lLL 坪 Lr,/-,耳fi丿 f J j J I II CV /NI 附、八吆 /、基本知识及其典型例题回顾：命题的形式命题的一般形式为“若，则g”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.知识一充分条件与必要条件命题真假若“p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系pnqp令q条件关系p是q的充分条件 q是p的必要条件p不是q的充分条件 q不是p的必要条件特别提醒：p=q, q令p, p是q的充分不必要条件；(2)pq, q=p, p是q的必要不充分条件；p令q, q令p, p是q的既不充分也不必要条件.【例1】(充分条件
2、)判断下列说法中，p是q的充分条件的是p： “x=1”，q： “x22x+1=0”；p： “a5, q： “a0”，q： “ab0”【解析】对,pDq； q； q,故填.【变式1】(多选题)下列是“x y ”成立的充分条件的是()A. a2x a2y (a e R)B. x3 y3C. yD.【答案】ABD【分析】根据充分条件的概念，结合不等式的性质，逐项判断，即可得出结果【详解】A选项，若a2x a2y (a e R)，则a2 0，所以x 儿即a2x a2y (a e R)是“x y ”成立的充分条件；A正确；B选项，若x3 y3，则x 儿即x3 y3是“ x y ”成立的充分条件；B正确;
3、C选项，当x = 2，y = -1时，能满足*；石 y，但不满足x y，所以丫云 y不是“ x y ”成立的充分 条件；C错;1 11 1D选项，若 y 0 ；所以 y ”成立的充分条件；D正确.x yx y故选：ABD.【例2】（必要条件）下列各题中，p是q的必要条件的是.p： x2 016, q： x2 015； p： ax22ax10 的解集是实数集 R， q： 0a b2 1， q： ab1.【解析】?； p： 0b1 a2 b2 1, qp，故填.【变式2】（多选）设a，bDR,贝9下列是“a1且b1”成立的必要条件是（）A. ab1B. a+b2aC. 1D. ab0b【解析】“a
4、1且b1”成立的必要条件设为q,则“a1且b Uq 故 AB 正确.【例3】（1）“x为无理数”是“X2为无理数”的.（填充分条件，必要条件，充分不必要条件，必要不充分条件）【解析】当X2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，X2不一定为无理数.答案为必要不充分条件（2） “a b ”是“a2 b2 ”的条件（从充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选一个填空）.【答案】既不充分也不必要【分析】通过举反例进行判断即可【详解】解：令a = l，b = 2，则a2 b得不到a2 b2若令a = 一2,b = 1，满足a2 b2，此时a b2得不到a b所以“a b”是
5、“a2 b2”的既不充分也不必要条件，故答案为：既不充分也不必要【变式3 （1） ab的一个充分不必要条件是（）A. a2b2B. |a|b|。.十#D. ab1【解析】ablDab0 而 ab0Dab1,故选 D.(2) “x+尸3”是1=1且尸2”的.(填：充分条件，必要条件，充分不必要条件，必要不充分条件)【答案】必要不充分条件【解析】当x=0，y=3时，满足x+y=3，但x=1且y=2不成立，即充分性不成立，若x=1且y=2,则x+y=3成立，即必要性成立，即“x+y=3”是“x=1且y=2”的必要不充分条件充要条件(1) 定义：若p=q且q=p,则记作pOq，此时p是q的充分必要条件
6、，简称充要条件.(2) 条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.【例4】(多选题)下列所给的p，q 中, p是q的充要条件的是()A. p： “a+5是无理数”,q:“a是无理数”；B. 若 a， bDR，p： a2+b2=0, q： a=b=O；C. p： |x|3， q： x29；D. p:“a=b”,q:“ac=bc”。【解析】A“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件.B 若 a2+b2=0,则 a=b=0，即pDq；若 a=b=0，则 a2+b2=0,即 qDp,故pDq，所以p 是 q 的充要条 件.C由于p： |x|3Dq： x29，所以p是q的充要
7、条件.D因为“a = b”时ac = b成立，ac二be,c = 0时，a = b不一定成立，所以“a = b”是“ac = be ”的的充分 不必要条件，故错。答案为 ABC【变式4】(1)“a1”是“函数y=x22xa没有零点”的条件.(填充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件 、既不充分也不必要条件)【解析】函数没有零点，即方程x22xa=0无实根，所以有J=4+4a0,解得a 1 反之，若a1, 则力0，方程x22xa=0无实根，即函数没有零点故“函数y=x22xa没有零点”的充要条件是.(2)函数fx)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是.【答案】 m= 2m【解析
8、】函数fx)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则一了 =1，即m=2；反之，若m=2，则 f(x)= x22x1 的图象关于直线 x=1 对称1【例5 (充要性的证明)求证：方程mx2 - 2x + 3 = 0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0 m 3 . 【解析】证明：(1)先证充分性：12因为0 m 0 ,且两根积为 0 3m 所以方程mx2 - 2x + 3 = 0有两个同号且不相等的实根；（2）再证必要性：若方程mx2 - 2x + 3 = 0有两个同号且不相等的实根，设两根为x ,x12A = 4 一 12m 0则有3门，解得0 m 03、12 m1综合（1） （2）可知
9、，方程mx2 - 2x + 3 = 0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0 m y,求证：0.xy【证明】（1）必要性：由11；，得 0，即_y,得yx0.x y x yxy（2）充分性：由xy0及xy，得X；X；,即1综上所述，0.A = x|x满足条件p，B=x|x满足条件qAUB若ACB,则p是q的充分条件，厂一 一二汎若A uB,则p是q的充分不必要条件BUA若BQA，贝p是q的必要条件，厂一-;冬若BuA,则p是q的必要不充分条件二A=B若A=B,则p, q互为充要条件I、：血丿AB且 BA则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件cd CD【例如】“x2”是“x3”的充分不必要条
10、件，“x3”是“x0”是x0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】由 x2+x0Dx0,记 A = x I x 0, B=x|x0, AuB，故知 A 符合要求. 【练习6】（1）设p： x3, q：1x3，则p是q成立的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【解析】口兀3口一 1x3,但一1 x3Dx3, Dp是q的必要不充分条件，故选C.（2）设xDR,则xn的一个必要不充分条件 .（请自行选择一个正确的条件填写）【解析】例如“x2” （答案不唯一）【例 7】已知非空集合P=xa+ 1x0；（2）
11、a|0aa+l,即可得出结果.（2）根据充分、必要条件的知识得到P 0,由此列不等式组，解不等式组求得a的取值范围.【详解】解 （1）因为P是非空集合，所以2a+la+l,即a0.（2）若“xOP”是、口0”的充分不必要条件，即P Q，a +1 -2即2a+1 0且a+12和2a+l5的等号不能同时取得，解得0a2，即实数a的取值范围为a|0a2.【点睛】本小题主要考查集合的概念，考查根据充分、必要条件求参数的取值范围【变式7】（1）已知命题P : xell，3，命题q: x e（x|a xa +1,若p是q的必要不充分条件，求实 数a的取值范围.【解析】根据题意，P是q的必要不充分条件， x
12、la x 1 且 a +1 3，得 1 a 2当 a = 1 时，xla x a + 1u 1,3，满足题意； 当 a = 2 时，xla x a + 1u 1,3，满足题意.所以，实数a的取值范围是1 a 2.（2）已知p： x10, q： x22x+1a20，若p是q的必要条件，求负实数a的取值范围.【解析】口。0,解不等式得q： x1a, Dp是q的必要条件，DqDp,1 +a10,解得a9故负实数a的取值范围是（一,9.、a2”是“1”的( )条件.x + 1A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】 A【分析】3求得 1的解集，由此确定充分、必要条件.x +1【详解】 1 o
