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1、二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1. 二次根式：形如.a (a0)的式子叫做二次根式，“、称为二次根号。 .式子中，被开方数(式)必须大于等于零。 .(a 0)是一个非负数。 .(品)2 = a (a0); Va2 =a (a0)2. 二次根式的乘： .般的，有苗血=0, b0) .反过来，有 Tab =柘xVB ( a0, b 0)3. 二次根式的除： .一般地，对二次根式的除法规定:b0),.反过来，(a0, b0)4. 二次根式的加减法则:二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根 式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。典型例题分析： 例1.下列式子，哪些是二次根式， 哪些
2、不是二次根式:V2、V3、1、VX(x0)、/o、V2、- V2、1、寸 x + y (x0,xx + yy? 0).分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”;第二，被开方数是正数或 0。解：二次根式有：V2、五(x0)、V0、-42、Jx+y ( x 0, y0);不是二次根式的有： 逅、1、迈、丄。xx + y例2.当x是多少时，+丄在实数范围内有意义？x + 1分析：要使+丄在实数范围内有意义，必须同时X +1满足 2x3中的0和丄中的X+1工0.x+1解：依题意，得！2x空由得：X - 32由得：XZ -1当x -3且XZ -1时，、.2TP +丄在实数范围内有意义。2x +
3、 1变式题1：当X是多少时，,31在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1 0,3x -1才能有意义.解：由 3x-1 0,得：x -3当x 1时，在实数范围内有意义.3变式题2：.当x是多少时，云乜+x2在实数范围内有x意义？3解：依题意得：2x , x-匚宀0xo当x-且XZ 0时，旦卫+ X2在实数范围内没有意义。2x .若J3x + 丁x 3有意义，则 4 =。 .使式子._(x5)2有意义的未知数X有()个。例3.已知y=.時+、.口 +5，求仝的值.(答案：？)y5 若、.冇 + .口 =0，求 a2004+b2004 的值.(答案
4、:2) 已知、.云币+ .口 =0,求xy的值.(答案:81)例4.计算1. C. 3)22. (3 5 ) 23-(；6)24-(孑)2分析：我们可以直接利用(.a) 2=a (a 0)的结论解 题.解: C 3 ) 2 = 3 , ( 3 5 ) 2 =32 (5) 2=32 5=45 ,V22C 5) 2= 5 , (口) 2=车7 .662224例5.计算1.(厂)2 (x0)2. C，a2 ) 23. ( a2 2a 1 ) 24. (、4x2 -12x 9) 2分析：(1)因为 x 0,所以 x+10 ; (2) a2 0; (3)a2+2a+仁(a+1) 2 0;(4) 4x2-
5、12x+9= (2x) 2-2 2x 3+32= ( 2x-3) 2 0.所以上面的4题都可以运用（.a ） 2=a （a0）的重要结论解题.解：（1）因为x0，所以x+102=x+1(2) v a(3) t a2+2a+1 =又 (a+1 )2 0,(4)v 4x2-12x+9=又( 2x-3) 2 02 0,(.a2) 2=a2(a+1) 2a +2a+10，二 a2 2a 1 =a +2a+1(2x) 2-2 2x 3+32= ( 2x-3 ) 2二 4x2-12x+9 0,.( 、4x2 -12X 9) 2=4x2-12x+9变式题：计算1.(-汉 3)22. (2.3 3,2)(2.
6、 3 -3.2)例6.在实数范围内分解下列因式：(1) x2-3(2) x4-4(3) 2x2-3例7.化简(1) 方(2),百(3) 、25(4) ，百分析：因为(1) 9=-32, (2) (-4) 2=42, (3) 25=52,(4) (-3) 2=32，所以都可运用.a2 =a (a0) ?去 化简。解：(1)= .32 =3(2) -4)2 = -42 =4(3) 丢=52 =5(4) 、(-3)2 = 32 =3例8.填空：当 a 0时，忌=;当aa，贝U a可以是什么数？分析：忌=a （a0） 要填第一个空格可以根据这 个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，
7、因为，当 a 0.（1） 根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（ 2）可知倚=| a |,而| a |要大 于a,只有什么时候才能保证呢？a 0;（2）因为 a2 =-a，所以 a 0时a2 =a,要使-.a2 a，即使aa所以a 不存在；当 aa,即使-aa , a0 综上，a2，化简 .（x-2）2 -2x）2 .例10.先化简再求值：当 a=9时，求a+ 1匚2a_a2的值， 甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+ .（i -a）2 =a+ （1-a ） =1;乙的解答为：原式 =a+（i-a）2 =a+ （a-1 ） =2a-1=1 7.两种解答
8、中， 的解答是错误的，错误的原因是变式题 1.若丨 1995-a | + J a2000 =a，求 a-19952 的值.(提示：先由a-200 00,判断1995-a?的值是正数还是 负数，去掉绝对值)变式题2.若-3 X 0, b 0)计算即可.(3)X . 27 = .9一27 = .92 3 =9 3 ”1X -6=例12 .化简(1).厂16( 2)、1681( 3) . 8厂100(4)9x2y2(5) . 54分析：利用.Ob a .b (a0, b0)直接化简即可.解：(1 )9 16 =、9 X . 16 =3 X 4=12(2) 、16 81 = .16 x、81 =4 X
9、 9=36(3) .81 loo = .81 x、loo =9 x 10=90(4) 9x2y2 = 3 X x2y2 = , 32 X、. x2 X y2 =3xy(5) . 54 = , 96 = . 32 x . 6 =3 .6例13 .判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1) 0( 一9)4、-9(2) . 412 X 25 =4 X , X、. 25 =4 12 X、25 =4 . 12 =8、一 3解：(1)不正确.改正：.(4厂(-9) =、. 4 9 = 、4 X 9 =2 X 3=6(2)不正确.改正：,4| X .,25 = _ 労 X ,25 =、25 =、, 1
10、12 16 7 = 4 7变式题1:若直角三角形两条直角边的边长分别为-、15 cm和2cm, ?那么此直角三角形斜边长是().变式题2：化简a1的结果是().变式题 3：(而4 =. V169X6变式题4： 一个底面为 30cmX 30cm长方体玻璃容器中 装满水，？现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？设：底面正方形铁桶的底面边长为x,贝V x2X 10=30 X 30X 20, x2=30X 30 X 2,变式题5:探究过程:观察下列各式及其验证过程验证:223(23 _2)3I 323 222212(
11、21 - ) 221 -21 -(2)点=J3+8验证:33-3 332 -13833823(3 -1) 332 -13 323(3 -1)332 -132 -1通过上述探究你能猜测出:a2i(a0),并验证你的结论.解：a=U1验证：a2 a a22 a 1a3 -aaa2 -1a3 -a a2aa T) . a a2 -1a2-1a+* a -1例14.计算:1 (3)321分析：上面4小题利用年=,ba (a0, b0)便可直接得出答案.解：（1）=4 =2(2)3283 1 = , 3 8 二、4 =x =2 32 82(3)U416 =4 =216(4)6464 = .8 =2 2例
12、15.化简:29a2(1)、64( 2) 64bb(3)5x169y29 ( 4)64 y分析：直接利用诗记（“0, b0）就可以达到化简之目的.解：（1）.3 =_J.648(3)64b2 = 64b2 _ 8b9,9a2 3a9x _；9x 3；x64 y2,64 y28y5x、5x5x2 =一169yJ69y213y例16.已知，且x为偶数，求（1+x）x25x 4x2 -1的值.分析：式子,-=，只有a0, b0时才能成立. b 0且x-60 ,即6x6 6x 9 x为偶数 x=8原式=(1+X)(x-4)(x)Y(x+1)(x-1)=(1+x)陽=(1+x)= 7(1+x)(x 4)讥x+1) 当x=8
