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1、高考数学精品复习资料 2019.5立体几何专题训练1.如图所示空间图形中， 四边形为矩形，为上的点，且. （）求证：；（）求证； （）求三棱锥的体积.ABCDPFG解： （）证明：， ，则 ，则 （）证明：依题意可知：是中点 则，而 是中点 在中， （）解： ，而 是中点 是中点 且 中， 2如图,在四棱锥中,底面为直角梯形, ,平面底面,为的中点, ，,是棱的中点。BAAGFEDCBAGFEDCABCDQM（）求证: 平面；（）证明：平面（）求三棱锥的体积。解：证明:（）连接，交于,连接，且，即，四边形为平行四边形,且为中点,又因为点是棱的中点, ，因为 平面，平面，则； （）为的中点, ，
2、 (),已证出平面 所以到平面的距离为 所以 3已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， （1）求证：；（2）求证：； 884主视图侧视图俯视图448 （3）求此几何体的体积.解：（1）证明：该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，两两互相垂直。 ， （2） 连BN，过N作，垂足为M， 由三视图知，BC=4，AB=4，BM=AN=4， ，=， ， （3） 连接CN， ，4如右图，已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，且ACB 90，BAC30，BC1，AA1，点P、M、N分别为BC1、CC1、AB1的中
3、点（1）求证：PN/平面ABC；（2）求证：A1M平面AB1C1；（3）求点M到平面AA1B1的距离 解：（1）证明：连结CB1，P是BC1的中点 ，CB1过点P， N为AB1的中点，PN/AC, 面，面, PN/平面ABC. （2）连结AC1，在直角ABC中，BC1，BAC30， ACA1C1 =， ，AC1A1M. B1C1C1A1，CC1B1C1，且B1C1平面AA1CC1， B1C1A1M，又，故A1M平面A B1C1，（3）设点M到平面AA1B1的距离为h，由（2）知B1C1平面AA1CC1 .即点M到平面AA1B1的距离为 5.在四棱锥PABCD中,ABCACD90,BACCAD6
4、0,PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2AB2_F_E_D_C_B_A_P（1）若F为PC的中点，求证：PC平面AEF； （2）求四棱锥PABCD的体积V.解：（1）PACA，F为PC的中点，AFPC PA平面ABCD，PACDACCD，PAACA，CD平面PACCDPCE为PD中点，F为PC中点，EFCD则EFPC AFEFF，PC平面AEF （2）在RtABC中，AB1，BAC60，BC，AC2在RtACD中，AC2，CAD60，CD2，AD4SABCD 则V 6如图所示，已知中，平面，、分别是、的中点（1）求证：平面平面；（2）设平面平面，求证；（3）求四棱锥B-CDFE的体积V解：
5、（1）证明：AB平面BCD，平面 ，又， ， 平面，又E、F分别是AC、AD的中点，EF平面ABC又平面BEF，平面BEF平面ABC（2） CD / EF，平面，平面平面，又平面BCD，且平面平面（3）由（1）知EFCD 7如图，圆O为三棱锥P-ABC的底面ABC的外接圆，AC是圆O的直径，PABC，点M是线段PA的中点（）求证: BCPB；（）设PAAC，PA=AC=2，AB=1，求三棱锥PMBC的 体积；（）在ABC内是否存在点N，使得MN平面PBC？请证明你的结论.解：（）证明：如图，因为，AC是圆O的直径，所以BCAB因为，BCPA，又PA、AB平面PAB，且PAAB=A所以，BC平面
6、PAB，又PB平面PAB所以，BCPB（）如图，在RtABC中，AC=2，AB=1所以，BC=，因此，因为，PABC，PAAC，所以PA平面ABC所以，（）如图，取AB得中点D，连接OD、MD、OM，则N为线段OD（除端点O、D外）上任意一点即可，理由如下：因为，M、O、D分别是PA、AC、AB的中点所以，MDPB,MOPC因为，MD平面PBC，PB平面PBC所以，MD平面PBC同理可得，MO平面PBC因为，MD、MO平面MDO，MDMO=M所以，平面MDO平面PBC因为，MN平面MDO故，MN平面PBC8.已知四棱锥 (图5) 的三视图如图6所示,为正三角形,垂直底面,俯视图是直角梯形.(1
7、)求正视图的面积;(2)求四棱锥的体积;(3)求证:平面;解:(1)过A作,根据三视图可知,E是BC的中点, 且, 又为正三角形,且 平面,平面, ,即 正视图的面积为 (2)由(1)可知,四棱锥的高, 底面积为 四棱锥的体积为 (3)证明:平面,平面, 在直角三角形ABE中, 在直角三角形ADC中, ,是直角三角形 又,平面 9.如图,已知所在的平面,是的直径,C是上一点,且,.(1) 求证:;(2) 求证:;(3)当时,求三棱锥的体积.解: (1)证明:在三角形PBC中, 所以 EF/BC, (2) 又是的直径,所以 所以, 因 EF/BC ,所以 因为, 所以 (3) 在中, = 当时,
8、是中点.为中点 10.如图,在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,现将梯形沿CB、DA折起,使EF/AB且,得一简单组合体,已知分别为的中点.(1)求证:平面; (2)求证:平面;(3)若,求四棱锥F-ABCD的体积. 解： (1)证明:连结,四边形是矩形,为中点, 为中点, 在中,为中点,故 平面,平面,平面; (2)依题意知 且 平面 平面, 为中点, 结合,知四边形是平行四边形 , 而, ,即 来源: 又 平面, (3)解法1:过F点作交AB于Q点,由(2)知PAE为等腰直角三角形, ,从而, , 又由(2)可知平面ABCD, , 解法2:三棱锥F-CBD与F-ABD等底等高, , 由(2)知PAE为等腰直角三角形,从而 故
