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1、 第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:方程y+py+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数.如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.我们看看, 能否适中选取r,使y=erx满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=erx代入方程y+py+qy=0得 (r2+pr+q)erx=0.由此可见,只要r满足代数方程r2+pr
2、+q=0,函数y=erx就是微分方程的解.特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r1、r2可用公式求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时,函数、是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数、是方程的解,又不是常数.因此方程的通解为. (2)特征方程有两个相等的实根r1=r2时,函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解. 这是因为,是方程的解,又,所以也是方程的解,且不是常数. 因此方程的通解为. (3)特征方程有一对共轭复根r1, 2=aib时,函数y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是
3、微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.函数y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解, 而由欧拉公式, 得y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx),y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx),y1+y2=2eaxcosbx,y1-y2=2ieaxsinbx,.故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解.可以验证,y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的线性无关解. 因此方程的通解为y=eax(C1cosbx+C2sinbx ).求二阶常
4、系数齐次线性微分方程y+py+qy=0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步 求出特征方程的两个根r1、r2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解. 例1 求微分方程y-2y-3y=0的通解.解所给微分方程的特征方程为r2-2r-3=0,即(r+1)(r-3)=0.其根r1=-1,r2=3是两个不相等的实根,因此所求通解为y=C1e-x+C2e3x. 例2 求方程y+2y+y=0满足初始条件y|x=0=4、y|x=0=-2的特解. 解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=-1是两个相等的实根,因此所给微
5、分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导,得y=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e-x. 例 3 求微分方程y-2y+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1-2i, 是一对共轭复根,因此所求通解为y=ex(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) +pn-1y+pny=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,
6、其中p1,p2 ,pn-1,pn都是常数. 二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D, 及微分算子的n次多项式:L(D)=Dn+p1Dn-1+p2 Dn-2 +pn-1D+pn,那么n阶常系数齐次线性微分方程可记作(Dn+p1Dn-1+p2 Dn-2 +pn-1D+pn)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y,Dy=y,D2y=y,D3y=y,Dny=y(n). 分析: 令y=erx, 那么L(D)y=L(D)erx=(rn+p1rn-1+p2 rn-2 +pn-1r+pn)erx=L(r)erx.因此如果r
7、是多项式L(r)的根, 那么y=erx是微分方程L(D)y=0的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:L(r)=rn+p1rn-1+p2 rn-2 +pn-1r+pn=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Cerx;一对单复根r1,2=aib 对应于两项:eax(C1cosbx+C2sinbx); k重实根r对应于k项:erx(C1+C2x+Ckxk-1);一对k重复根r1,2=aib对应于2k项:eax(C1+C2x+Ckxk-1)cosbx+(D1+D2x+Dkxk-1)sinbx. 例4 求方程y(4)-2y+5y=0 的通解. 解
8、 这里的特征方程为r4-2r3+5r2=0,即r2(r2-2r+5)=0,它的根是r1=r2=0和r3,4=12i.因此所给微分方程的通解为y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x). 例5 求方程y(4)+b4y=0的通解,其中b0. 解 这里的特征方程为r4+b 4=0.它的根为,.因此所给微分方程的通解为.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程:方程 y+py+qy=f(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中p、q是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和: y=Y(
9、x)+ y*(x).当f(x)为两种特殊形式时,方程的特解的求法:一、f(x)=Pm(x)elx型当f(x)=Pm(x)elx时,可以猜测,方程的特解也应具有这种形式.因此,设特解形式为y*=Q(x)elx,将其代入方程,得等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x). (1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0 的根,那么l2+pl+q0.要使上式成立,Q(x)应设为m次多项式: Qm(x)=b0xm+b1xm-1+bm-1x+bm,通过比拟等式两边同次项系数,可确定b0,b1,bm,并得所求特解 y*=Qm(x)elx. (2)如果l是特征方程r2+pr+q=
10、0 的单根,那么l2+pl+q=0,但2l+p0,要使等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).成立,Q(x)应设为m+1 次多项式: Q(x)=xQm(x), Qm(x)=b0xm+b1xm-1+bm-1x+bm,通过比拟等式两边同次项系数,可确定b0,b1,bm,并得所求特解 y*=xQm(x)elx. (3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根,那么l2+pl+q=0,2l+p=0,要使等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).成立,Q(x)应设为m+2次多项式: Q(x)=x2Qm(x), Qm(x)=b0x
11、m+b1xm-1+bm-1x+bm,通过比拟等式两边同次项系数,可确定b0,b1,bm,并得所求特解y*=x2Qm(x)elx.综上所述,我们有如下结论:如果f(x)=Pm(x)elx,那么二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=f(x)有形如 y*=xkQm(x)elx的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式,而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解. 解这是二阶常系数非齐次线性微分方程,且函数f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=3x+1,l=0).与所给方程对应的齐次方程为 y-
12、2y-3y=0,它的特征方程为 r2-2r-3=0. 由于这里l=0不是特征方程的根,所以应设特解为 y*=b0x+b1.把它代入所给方程,得-3b0x-2b0-3b1=3x+1,比拟两端x同次幂的系数,得,-3b0=3,-2b0-3b1=1.由此求得b0=-1,.于是求得所给方程的一个特解为.例2求微分方程y-5y+6y=xe2x的通解. 解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=x,l=2).与所给方程对应的齐次方程为 y-5y+6y=0,它的特征方程为 r2-5r+6=0.特征方程有两个实根r1=2,r2=3.于是所给方程对应的齐次方程的通
13、解为 Y=C1e2x+C2e3x.由于l=2是特征方程的单根,所以应设方程的特解为 y*=x(b0x+b1)e2x.把它代入所给方程,得-2b0x+2b0-b1=x.比拟两端x同次幂的系数,得,-2b0=1,2b0-b1=0.由此求得,b1=-1.于是求得所给方程的一个特解为.从而所给方程的通解为.提示:y*=x(b0x+b1)e2x=(b0x2+b1x)e2x,(b0x2+b1x)e2x=(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)2e2x,(b0x2+b1x)e2x=2b0+2(2b0x+b1)2+(b0x2+b1x)22e2x.y*-5y*+6y*=(b0x2+b1x)e2x-5(b0x2+
14、b1x)e2x+6(b0x2+b1x)e2x=2b0+2(2b0x+b1)2+(b0x2+b1x)22e2x-5(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)2e2x+6(b0x2+b1x)e2x=2b0+4(2b0x+b1)-5(2b0x+b1)e2x=-2b0x+2b0-b1e2x.方程y+py+qy=elxPl (x)coswx+Pn(x)sinwx的特解形式应用欧拉公式可得elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx,其中,. 而m=maxl,n.设方程y+py+qy=P(x)e(l+iw)x的特解为y1*=xkQm(x)e(l+iw)x,那么必是方程的特解,其中k按liw不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.
