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1、第三章 非稳态导热的分析计算3-1 非稳态导热过程分析一、非稳态导热过程及其特点图3-1平板加热过程示意图x00t=0tt0=2=3=1导热系统（物体）内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热过程。在过程的进行中系统内各处的温度是随时间变化的，热流量也是变化的。这反映了传热过程中系统内的能量随时间的改变。我们研究非稳态导热过程的意义在于，工程上和自然界存在着大量的非稳态导热过程，如房屋墙壁内的温度变化、炉墙在加热（冷却）过程中的温度变化、物体在炉内的加热或在环境中冷却等。归纳起来，非稳态导热过程可分为两大类型，其一是周期性的非稳态导热过程，其二是非周期性的非稳态导热过程，通常指物体（或系统）的
2、加热或冷却过程。这里主要介绍非周期性的非稳态导热过程。下面以一维非稳态导热为例来分析其过程的主要特征。今有一无限大平板，突然放入加热炉中加热，平板受炉内烟气环境的加热作用，其温度就会从平板表面向平板中心随时间逐渐升高，其内能也逐渐增加，同时伴随着热流向平板中心的传递。图3-1显示了大平板加热过程的温度变化的情况。从图中可见，当时平板处于均匀的温度下,随着时间t的增加平板温度开始变化，并向板中心发展，而后中心温度也逐步升高。当时平板温度将与环境温度拉平，非稳态导热过程结束。图中温度分布曲线是用相同的Dt来描绘的。总之，在非稳态导热过程中物体内的温度和热流都是在不断的变化，而且都是一个不断地从非稳
3、态到稳态的导热过程，也是一个能量从不平衡到平衡的过程。二、加热或冷却过程的两个重要阶段从图3-1中也可以看出，在平板加热过程的初期，初始温度分布仍然在影响物体整个的温度分布。只有物体中心的温度开始变化之后(如图中2之后)，初始温度分布的影响才会消失，其后的温度分布就是一条光滑连续的曲线。据此，我们可以把非稳态导热过程分为两个不同的阶段，即：初始状况阶段环境的热影响不断向物体内部扩展的过程，也就是物体（或系统）仍然有部分区域受初始温度分布控制的阶段；正规状况阶段环境对物体的热影响已经扩展到整个物体内部，且仍然继续作用于物体的过程，也就是物体（或系统）的温度分布不再受初始温度分布影响的阶段。由于初
4、始状况阶段存在初始温度分布的影响而使物体内的整体温度分布必须用无穷级数来加以描述，而在正规状况阶段，由于初始温度影响的消失，温度分布曲线变为光滑连续的曲线，因而可以用初等函数加以描述，此时只要无穷级数的首项来表示物体内的温度分布。3 边界条件对导热系统温度分布的影响从上面的分析不难看出，环境（边界条件）对系统温度分布的影响是很显著的，且在整个过程中都一直在起作用。因此，分析一下非稳态导热过程的边界条件是十分重要的，这里以一维非稳态导热过程（也就是大平板的加热或冷却过程）为例来加以说明。图32表示一个大平板的加热过程，并画出在某一时刻的三种不同边界情况的温度分布曲线（a）、（b）、（c）。这实质
5、上是表明在第三类边界条件下可能的三种温度分布。按照传热关系式作一个近似的分析，就可得出如下结论。图3-2不同环境下的平板加热过程示意图(a)(c)x0xtt(b)曲线（a）表示平板外环境的换热热阻远大于平板内的导热热阻，即。从曲线上看，物体内部的温度几乎是均匀的，这也就说物体的温度场仅仅是时间的函数，而与空间坐标无关。我们称这样的非稳态导热系统为集总参数系统（一个等温系统或物体）。曲线（b）表示平板外环境的换热热阻相当于平板内的导热热阻，即。这也是正常的第三类边界条件。曲线（c）表示平板外环境的换热热阻远小于平板内的导热热阻，即。从曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与物体边界几乎无温差，
6、此时可用认为.那么，边界条件就变成了第一类边界条件，即给定物体边界上的温度。把导热热阻与换热热阻相比可得到一个无因次的数，我们称之为毕欧（Boit）数，即。那么，上述三种情况则对应着Bi1。毕欧数是导热分析中的一个重要的无因次准则，它表征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系。它和下面将要介绍的傅里叶数（准则）一起是计算非稳态导热过程的重要参数。下面我们将对一些简单的一维非稳态导热过程进行分析求解，以利于读者掌握非稳态导热过程的分析方法和进行实际的工程应用。3-2 一维非稳态导热过程分析一、无限大平板加热（冷却）过程分析及线算图有一温度为t0而厚度为的无限大平板突然放入温
7、度为t的环境中加热，这是一个典型的一维非稳态导热问题，如图3-3所示。该问题的导热微分方程式和给定的初始条件、边界条件为写成无因次形式有 式中，.图3-3无限大平板加热过程模型图x0xtttt0t0,cp上面定义的无因次时间Fo我们称之为傅里叶准则或傅里叶数，其物理意义表征了给定导热系统的导热性能与其贮热（贮存热能）性能的对比关系，是给定系统的动态特征量（可以参照热扩散系数的物理意义来加以理解）。采用分离变量法可用解出上式而得到大平板的温度分布3-1式中，mn是微分方程的特征值，与边界条件密切相关，是Bi数的函数。因此，大平板温度分布的一般函数表达式为。3-2由于级数形式的解计算起来比较复杂，
8、工程上常采用计算线图（俗称诺谟图）来解决非稳态导热的计算问题。由海斯勒(Heisler)制成的线算图为一套三图，能求解一维导热温度场和热流场。具体做法是将无因次温度改为，3-3式中，为平板中心的过余温度。这样划分之后无因次中心温度 仅仅是毕欧数和傅里叶数的函数，而相对过余温度 则只是毕欧数和无因次厚度的函数。再定义无因次热量，它也是毕欧数和傅里叶数的函数，即,3-4式中的Q为0t时间内传导的热量（内热能的改变量），而为 时间内的总传导热量（物体内能改变总量），V为物体的体积。Q和Q0的单位均为焦尔J。计算大平板无因次中心温度、相对过余温度和无因次热量的海斯勒线算图由图3-4、3-5和3-6给出
9、。利用线算图我们可以在已知平板初始温度和环境换热系数及温度的条件下，确定平板达到某一温度所经历的时间或者经历某一时间平板的温度。具体步骤是：（a）对于由时间求温度的步骤为，计算Bi数、Fo数和，从图3-4中查找和从图3-5中查找，计算出，最后求出温度t ； (b) 对于由温度求时间步骤为，计算Bi数、和,从图3-5中查找，计算,然后从图223中查找Fo,再求出时间t 。（c）平板吸收（或放出）的热量，可在计算和Bi数、Fo数之后，从图3-6中查找，再计算出 。二、无限长圆柱体和球体的加热（冷却）过程分析及线算图1无限长圆柱体 tr0ttt0图3-7无限长圆柱体非稳态导热过程无限长圆柱体在均匀环
10、境中加热或冷却是典型的圆柱坐标下的一维非稳态导热过程，如图3-7所示。通过分析求解亦可得到相应的温度分布，同样也是无穷级数形式的解，其一般表达式为,3-5式中r0为无限长圆柱体的半径，而(注意特征尺寸r0与大平板d的差别)。我们可以采用线算图来计算无限长圆柱体温度分布和传导的热量。这里同样让3-6以及3-7。于是可以作出三个相应的线算图，图3-8、图3-9和图3-10给出了无限长圆柱体非稳态导热过程的中心温度、相对过余温度及导热量随时间和空间的变化。无限长圆柱体非稳态导热过程的具体计算方法与无限大平板的计算方法相同。2球体ttt0r0,cp图3-11球体非稳态导热过程球体也是一种在球坐标系中的
11、典型的一维非稳态导热过程，如图3-11所示。也可以从方程和相应边界条件确定其温度分布，进而求得导热热量。这里我们仍然采用图解的方法。处理方法与无限大圆柱体完全相同，相应的线算图示于图3-12、图3-13和图3-14之中。这里要注意的是特征尺寸R为球体的半径，r为球体的径向方向。三、半无限大固体的非稳态导热过程x0t0tw3-15半无限大固体的导热系统半无限大系统指的是一个半无限大的空间，也就是一个从其表面可以向其深度方向无限延展的物体系统。对于导热问题而言就是一个半无限大的固体系统，只有一个外边界面，而沿着此面法线方向向内延伸则是无限大的。由于作用于物体表面的热流是逐步向物体内部传递的，温度的
12、变化也是逐步向物体内部延伸的，因而很多实际的物体在加热或冷却过程的初期都可以视为是一个半无限大固体的非稳态导热过程。 所有，利用半无限大的概念可以给非稳态导热过程的求解带来方便。这也就是我们在这里介绍该导热过程的目的。图3-15给出了一个半无限大固体的导热系统，其初始温度为T0，而表面温度突然升高到Tw,并一直保持着。现在，我们可以写出该问题的导热微分方程式和相应的边界条件该微分方程的初、边值问题可以用拉普拉斯变换求解，也可以引入相似变量将偏微分方程变换为常微分方程后分析求解 。得到的温度分布为：，3-8式中的高斯误差函数定义为，式中，这是针对导热问题而设定的相似参数。高斯误差函数的数值可以通
13、过查表获得(附录13 )，其随的变化关系如图3-16所示。由傅里叶定律，任意位置上的热流量为：0t0twx3-17第三类边界条件下的半无限大固体3-9显然，边界表面上的热流量为。3-10当半无限大固体的边界条件变为第三类边界条件时，即，式中。此时微分方程的解为。3-11在此情况下的温度分布如图3-17所示。3-3多维非稳态导热的图解法0xy21223-18无限长矩形柱截面坐标选取多维导热问题的求解一般而言是较为复杂的，常常采用数值求解的办法加以解决。这一节中我们将就几种几何结构简单的物体的多维非稳态导热问题在分析的基础上采用一维问题的线算图来进行求解。应用上面讨论的海斯勒线算图可以求出厚度为2
14、d的大平板、半径为R的无限长圆柱体、及半径为R的球体的温度分布和传导的热量。但是，我们常常会遇到高度与宽度不比厚度大多少的平板（长矩形柱或矩形块），或者长度不比半径大多少的短圆柱，此时上面讨论的海斯勒线算图就不再适用。面对这些非一维非稳态导热问题，我们能不能利用上面的一维非稳态导热线算图来进行求解呢？下面用一个无限长矩形柱为例来回答这一问题。一个无限长矩形柱，如图3-18所示，它可以看成是由两个无限大平板正交而组成，它们的厚度分别为2d1和2d2。无限长矩形柱的导热微分方程式为：,式中。如果假定,并将其代入微分方程中，最后可得到：。注意到此式两边括号中的式子分别表示x方向和y方向上的两个一维非
15、稳态导热问题的微分方程式，且应分别为零。那么方程式是恒等的，这也就表明的假设是成立的。这也就是说，一个二维非稳态导热问题的解可以用两个导热方向相互垂直的一维非稳态导热问题解的乘积来表示。用同样的方法可以证明，初始条件和边界条件也是能够满足上述假定的。进而也可以推广到三维问题上去，也就是说，一个三维非稳态导热问题的解可以用三个相互垂直的一维非稳态导热问题解的乘积来表示。这样，求解一维非稳态导热的线算图就可以推广应用于简单的多维非稳态导热问题中去。例如：1.矩形截面的长棱柱（正四棱柱）可由两个大平板正交构成，因而温度分布为两个大平板对应的温度分布的乘积，即，3-12下标p1和p2分别表示两个坐标方向上大平板的温度；2.矩形块体(立方体) 可由三个大平板正交构成，因而温度分布为三个大平板对应的温度分布的乘积，即，3-13下标p1、p2和p3分
