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1、第8讲 二次函数与幂函数1五种常见幂函数的图像与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图像定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)2二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3二次函数的图像和性质a0a.1函数yf(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数yf(x)，如果定义域内有不同两点x1，x2且f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)的图像关于x对称(2)
2、二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要条件是函数yf(x)的图像关于直线xa对称(a为常数)2与二次函数有关的不等式恒成立两个条件(1)ax2bxc0，a0恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0)为增函数，ac.yx(xR)为减函数，cb，acb.答案：acb类题通法1幂函数yx的图像与性质由于的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)的正负：0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，曲线下凸2在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关
3、键考点二求二次函数的解析式典例已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解法一(利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数为f(x)4x24x7.法二(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的对称轴为x.m.又根据题意函数有最大值8，n8.yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.法三(利用零点式)：由已知f(x)10两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍)
4、所求函数的解析式为f(x)4x24x7.类题通法求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下： 针对训练已知yf(x)为二次函数，且f(0)5，f(1)4，f(2)5，求此二次函数的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，因为f(0)5，f(1)4，f(2)5，所以解得a，b，c5，故f(x)x2x5.考点三二次函数的图像与性质研究二次函数在闭区间上的最值解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.归纳起来常见的命题角度有：(1)轴定区间定求最值；(2)轴动区间定求最值；(3)轴定区间动求最值.角度一轴定区间定求
5、最值1已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)当a1时，求f(|x|)的单调区间解：(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6，f(x)在4,2上单调递减，在2,6上单调递增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)当a1时，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x6,6，且f(x)f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,0角度二轴动区间定求最值2已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，求a的值解：函数f(x)x22ax1a(xa)2a
6、2a1，对称轴方程为xa.(1)当a1时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a1或a2.角度三轴定区间动求最值3设函数yx22x，x2，a，若函数的最小值为g(a)，求g(a)解：函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，x1不一定在区间2，a内，应进行讨论当21时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，y取得最小值，即ymin1.综上，g(a)类题通法影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法：(1)最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解，在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得最值当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论1
