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1、单 摆 实 验 的 改 进黄 思 俞(三明师范高等专科学校物理系)摘要 本文介绍用光电门和计时 计数 计频仪来测量单摆摆动 n 个周期所经历的时间 t,大大提高了单摆实验的精度, 同时缩短了实验时间。关键词 单摆实验; 改进; 光电计时法。11 问题的提出单摆实验是力学实验中的一个基本实验。该实验通过测量单摆的摆长 l, 周期 T , 可以求 出当地的重力加速度lg= 42(1)T 2实验时, 测量一个周期的相对误差较大, 一般是测量连续摆动 n 个周期的时间 t, 所以12n lg= 42(2)依据式 (2) 就可以求出当t2实验时,只需测量出摆长 l, 单摆振动 n 个周期所用的时间 t,
2、地的重力加速度。摆长 l 值可以通过测量摆线长 l0 和摆球的直径 d 获得, 即 l= l0 + d 。 而时间 t 的测量按2实验教材是用秒表计时: 当摆球摆到平衡位置时开始计时, 摆动 n 个周期后, 到平衡位置停 止计时。 计时是以人眼观察小球到达平衡位置时手按秒表。 这样在开始计时和停止计时都会有较大的误差, 最后影响 g 值的准确度; 又因为摆动次数 n 取值较大 (一般取 n = 50) , 做实验时 n 值也很容易出现计算错误。 另外, 由于秒表的精度不高,的不准确。 时间 t 值不准确必然影响到重力加速度 g 值 的准确性。为克服上述因素对实验结果的影响, 笔者对该实验进行了
3、改进。只有 011 秒,也会出现计时21 实验改进的方法笔者对该实验的改进是把原来用秒表、人工计时改 为利用计时 计数 计频仪进行计时。该仪器是气 垫导轨实验仪的配套仪器, 是力学实验室最基本的实验 仪器。计时 计数 计频仪能记录从第一次遮光到 第 n 次遮光的时间。 实验装置如图 1, 光电门安装的位 置应是摆球平衡位, 并且光束正好穿过球心。当摆球第一次通过平衡位置时计数器开始计时。第二次通过平衡图 1位置, 也就是第二次遮光, 小球运动半个周期, 第三次遮光小球正好运动了一个周期, 第四次遮光小球运动了一个半周期,第五次遮光小球运动了两个周期第 2n + 1 次遮光小球正好运动了 n 个
4、周期,g= 42可求出 g 值。这时计数器停止计时,即记录 n 个周期的时间 t,根据2n lt231 改进后的实验结果与原方法实验结果的比较。311原实验方法测量结果一次测量周期数 n = 50d = 01012 米l0 = 1113 米r0 =2l= l0 + r0 = 11142 米312实验方法改进后测量结果一次测量周期数 n = 4d = 01012 米l0 = 1113 米r0 =2l= l0 + r0 = 11142 米313g 值比较31311原方法四次实验结果 g 值的比较。原方法四次实验 g 值的结果分别为: 918815 米/秒2917896 米/秒2、917351 米/
5、秒2、918630 米/秒2 , 可见 g 值小数点后第一位数就有差别了, g 值每一次都有较大差异, 原因在于人工秒表测量 t 值的差异, 即开始记时和停止计时的时间不准确, 单摆摆动不是正好 50 个周期。31312实验方法改进后四次实验结果 g 值的比较。四次实验结果 g 值分别为: 917983 米/秒2917988 米/秒2、 917981 米/秒2、 917983 米/秒2 ,g 值前四位数字都一样, 四次实验结果 g 值很接近。 原因在于利用计时 计数 计频和光电门计时, 时间很准确, 计时器记录的时间是单摆摆动 4 个周期的时间, 误差极小。31313两种方法测量的 g 值和重
6、力加速度测定仪所测得的当地重力加速度的比较。重力加速度测定仪测得的当地重力加速度 g 值为 917979 米/秒2 , 以前两组不同方法测得的 g 值比较,测量次数 N1234时 间 t (秒)815802815800815803815802重力加速度 g (米/秒2 )917983917988917981917983测量次数 N1234时 间 t (秒)10618107131071610619重力加速度 g (米/秒2 )918815917896917351918630123第 3 期黄思俞: 单摆实验的改进误差分析5511相对误差根据误差传递公式2 g = l + 2 tgl若不考虑摆长
7、l 的误差,t则 g = 2 tgt原方法测得的 g 值相对误差: g = 2 1 t- t1gt 106. 8+ 107. 3+ 107. 6+ 106. 9 = 107. 15其中t=4( g ) 1 = 2 1 107. 15- 106. 81 = 0. 65%则g107. 15( g ) 2 = 2 1 107. 15- 107. 31 = 0. 28%g107. 15( g ) 3 = 2 1 107. 15- 107161 = 0. 84%g107. 15( g ) 4 = 2 1 107. 15- 106. 91 = 0. 47%g107. 15四次实验结果都有较大的相对误差。实
8、验方法改进后测量 g 值的相对误差: 8. 5802+ 8. 5800+ 8. 5803+ 8. 5802 = 8. 580175t=4( g ) 1 = 2 1 8. 580175- 8. 58021 = 0. 0006%g8. 580175( g ) 2 = 2 1 8. 580175- 8. 58001 = 0. 004%g8. 580175( g ) 3 = 2 1 8. 580175- 8. 58031 = 0. 003%g8. 580175( g ) 4 = 2 1 8. 580175- 8. 58021 = 0. 0006%g8. 580175四次实验结果的相对误差都很小。标准误
9、差根据标准误差公式35122 2 2 21 + 2 + 3 + 4=4原方法测量 g 的平均值为 9. 8815+ 9. 7896+ 9. 7351+ 9. 8630 = 9. 821275g =42222(9. 821275- 9. 8815) + (9. 821275- 9. 7896) + (9. 821275- 9. 7351) + (9. 821275- 9. 8630) =40. 00362705+ 0. 001003305+ 0. 00742613+ 0. 001740975=4= 0. 0587实验方法改进后测量得 g 的平均值为 9. 7983+ 9. 7988+ 9. 79
10、81+ 9. 7983 = 9. 798375g=4其标准偏差为(9. 798375- 9. 7983) 2 +(9. 798375- 9. 7988) 2 + (9. 798375- 9. 7981) 2 + (9. 798375- 9. 7983) 2 =40. 000000005+ 0. 000000018+ 0. 000000075+ 0. 000000005=4= 0. 0002从上面原方法和实验方法改进后测量得 g 值的相对误差和标准误差可以看出,改进后其准确度要高很多。综上所述, 实验改进后, 既缩短了实验时间又提高了实验准确度。实验方法参考文献1 、 2杨述武主编, 普通物理实
11、验 (力学、 热学部分) , 第二版, 北京: 高等教育出版社,第 98 页。3同上, 第 10 页。(上接 114 页)1令 A = n - r命题 6解 (c1 , c2 , 由定理, 是 A X = 0 的解空间。1 , 2 , , n 是线性空间 V 的一个基, A 是 m x n 短阵, 证明: 以 A X = 0 的, cn ) 为坐标的向量 c1 1 + c2 2 + + cn n 的全体构成 V 的一个子空间。 V 的任一子空间都可由的方法求出。证明: 略设 是 V 的任一子空间, 令 : , 则 是 V 到 R n 的同构映射。() 是 R n 的一个子空间, 由命题 6,() 是某一线性方程组 A X = 0 的解空间。 由 的定义, = c1 1 + cn n 1 (c1 cn ) 是 A X = 0 的解 即 V 的任一子空间都可由的方法求出。本文所采用的符号与文献 1相同。参考文献魏献祝编, 高等代数。张枚, 高等代数习题选编。12
