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1、学习文档仅供参考第二节数列极限整标函数与数列积分学的基本思想高等数学的主要内容就是微积分学。积分学和微分学原是数学领域两个不同的分支。积分学的起源要早于微分学，它起源于计算几何形体的长度、面积、体积等等。下面我们用计算面积的情形了解一下积分学的基本思想。怎样计算抛物线yx2和直线y0,x1所围成的平面图形的面积？我们主要分四步处理1化整为零分割把所处理图形剪成很多小片；2近似代替作乘积把每一小片近似看着长方形；3积零为整求和把所有小片的近似面积加起来；4无限趋近取极限当分割越来越细时，寻找和式越来越接近的数。如图51313131 0.148148 ,30.0348639 ,11_ 2,2n 6
2、n1110.114583,0.093333,0.0787037,-0.0680272,333111,0.0189842,0.0137603,0.0099333,333容易看出，当n越来越大时，所求的近似面积会越来越接近-数3列极限，所以我们所求平面图形的面积为1。3数列的概念等比数列以上我们得到的这一列数就称为数列。下面我们再看几个数列的例子：n11111 2 4821,1,1,1,1,ln n ,ln1,ln2,ln3,ln4,数列我们通常记作an,其中an称为通项。如上面所提到的数列可分别记为n1111n2，一,1,lnn32n6n2其实数列还是一个以自然数为定义域的函数。例如对于数列an
3、对任意的自然数n有唯一的数an与之对应。所以数列有时也可以记作fn。当把数列看着一个函数时，我们称此函数为整标函数。二、极限的定义对于数列an,我们称常数A是它的极限，是指当n越来越大时，对应的an越来越接近A。这种说法很形象，但不够精确。当我们需要严格论证与极限有关的一些问题时，它的弊端就显露出来。例如要证明数列极限的唯一性这样一个简单命题都不太好说。随着问题的深入，我们迫切需要一个精确的量化的数列极限的定义。这个定义最终由德国数学家魏尔斯特拉斯给出。定义：如果数列an与A常数有以下关系，对任意给的正数任意小，总存在正数N,当nN时，不等式anA成立，则称常数A是数列an的极限，或者称数列a
4、n收敛于A。记为lim an A 或nan A n注1 :定义中的正数N是与任意给定的正数有关的，对任意给定的存在相应的N。注2:对给定的对应的正整数N不唯注3:数列的有限项的变化对其极限没影响。例1：证明：则*2。证明:对于任给（任意小）的3n2 n2n2 12n 32 2n2 15n2n252nN时，有3n2n2n21所以3n2nlim2例2 :证明:n2n12lim、-n1n证明：对于任给（任意小）的12n取N当，有n21所以limJn21n0。n例3 :设01 ,证明：Hm a证明：对于任给（任意小）的 0无妨设 1取N 1叫1，当n N时，有所以Jman注意：当01时，函数10g|a
5、| X是递减函数。三、数列极限的性质性质1 :极限的唯一性如果数A , B是数列an的极限，则一定有ABo证明：假设A B。无妨设AB,取丁因为 lim an A, n/所以存在正数Ni,当nNi时有anA又因为lim an B,n因此存在正数地，当n此时有anB取 N max N1 , N2，当n N时有an B an Aan Ban A这是一个矛盾，从而证明AB成立。如果对于数列an,存在一正数M,对任意的n都有an则称数列an有界。否则称数列an无界。性质2:收敛数列的有界性如果数列an收敛，那么数列an一定有界。证明：设“manA,取1,则存在正数N,当nN时有anA1即有anAanA
6、1an1A取Mmaxa1,a2,aN,1an则对任意的n都有an|M,即数列an有界。性质3:极限的保号性如果数列性质an的极限为A,且A0,则存在正数N,当nN时，有an与A同号。证明：无妨设A0,取因为manA,所以存在正数N,an a当nN时有即有性质4:如果数列性质an的极限为A。如存在一正数N,当nN时，a。0,则A0;如存在一正数N,当nN时，a00,则A0此命题是性质3的逆否命题。思考题：性质4中的“,”能否换成四、数列子列在数列中任意抽取无限项并保持这些项在原数列中的先后次序所得的新数列叫原数列的子数列。定理：收敛数列与子数列之间的关系数列an收敛于A的充分必要条件是它的任一子数列都收敛于A。作业：习题12：2题1、2小题、4题、6题、7题。学习文档 仅供参考
