《福建师范大学21秋《常微分方程》平时作业2-001答案参考15》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建师范大学21秋《常微分方程》平时作业2-001答案参考15（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、福建师范大学21秋常微分方程平时作业2-001答案参考1. 已知向量a=(1，-11)，b=(2，0，1)c=(0，1，3)，则由这3个向量所张成的平行六面体的体积是_。已知向量a=(1，-11)，b=(2，0，1)c=(0，1，3)，则由这3个向量所张成的平行六面体的体积是_。72. 设A为三阶矩阵，A的特征值为1，3，5，试求行列式det(A*-2E)的值，其中A*是A的伴随矩阵设A为三阶矩阵，A的特征值为1，3，5，试求行列式det(A*-2E)的值，其中A*是A的伴随矩阵因A的特征值为1，3，5，所以A可逆，且detA=15，于是A*的特征值依次为， 所以A*-2E的特征值为15-2=
2、13，5-2=3，3-2=1， 因此det(A*-2E)=1331=39 3. 求平面2x-y+z-7=0和平面x+y+2z-11=0的夹角求平面2x-y+z-7=0和平面x+y+2z-11=0的夹角n1=2，-1，1)，n2=1，1，2)，4. 设A，BAB-E是同阶可逆矩阵，则(A-B-1)-1-A-1)-1等于( ) (A) BAB-E (B) ABA-E (C) ABA-A (D) BAB-B设A，BAB-E是同阶可逆矩阵，则(A-B-1)-1-A-1)-1等于()(A) BAB-E(B) ABA-E(C) ABA-A(D) BAB-BC(A-B-1)-1-A-1)(ABA-A) =(
3、B(AB-E)-1-A-1)(ABA-A) =B(AB-E)-1(AB-E)A-A-1A(BA-E)=E 5. 设u=f(x，y，z)有连续一阶偏导数，z=z(x，y)由方程zexyey=zez所确定，求du设u=f(x，y，z)有连续一阶偏导数，z=z(x，y)由方程zex-yey=zez所确定，求du6. 设有n元二次型f(x1，x2，xn)=(x1+x1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，n)为实数设有n元二次型f(x1，x2，xn)=(x1+x1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+a
4、nx1)2，其中ai(i=1，2，n)为实数.试问：当a1，a2，an满足何种条件时，二次型f为正定二次型?解法1 由f的定义知，对任意的x1，x2，xn，有f(x1，x2，xn)0，其中等号成立当且仅当 齐次线性方程组(5-20)仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零，即 所以当1+(-1)n+1a1a2an0时，对于任意不全为零的x1，x2，xn，都有f(x1，x2，xn)0，即当1+(-1)n+1a1a2an0时，二次型f为正定二次型. 解法2 令矩阵 当|C|=1+(-1)n+1a1a2an0时，C为满秩矩阵，因此通过满秩线性变换 即 就可将f化成规范形 可见f的正惯性指数为n，故
5、f为正定的.所以当1+(-1)n+1a1a2an0时，f为正定二次型.读者试利用反证法说明：1+(-1)n+1a1a2an0也是二次型f正定的必要条件. 7. 给定环(5x|xZ，+，)，其中Z是整数集，+和是普通的加法和乘法，它_整环，因为_给定环(5x|xZ，+，)，其中Z是整数集，+和是普通的加法和乘法，它_整环，因为_不是$没有乘单位元素8. 设A是n(n1)阶矩阵，满足Ak=2E(k2，kZ+)，则(A+)k=( )A(1/2)EB2EC2k-1ED2n-1E设A是n(n1)阶矩阵，满足Ak=2E(k2，kZ+)，则(A+)k=( )A(1/2)EB2EC2k-1ED2n-1E正确答
6、案：D9. 把长为的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大?把长为的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大?正确答案：设一段长为x则另一段长为-x矩形面积为f(x)=x(-x)则f(x)=-2x=0故x=/2f(x)=-20故x=/2是f(x)的极大值点。 rn 故当两段等长度截开时以这两线段为边所组成的矩形面积最大。设一段长为x,则另一段长为-x,矩形面积为f(x)=x(-x),则f(x)=-2x=0,故x=/2,f(x)=-20,故x=/2是f(x)的极大值点。故当两段等长度截开时,以这两线段为边所组成的矩形面积最大。10. 离散型随机变
7、量X仅取两个可能值x1，x2，且x2x1，X取x1的概率为0.6，又已知E(X)=1.4 D(X)=0.24则X的分布律为(离散型随机变量X仅取两个可能值x1，x2，且x2x1，X取x1的概率为0.6，又已知E(X)=1.4 D(X)=0.24则X的分布律为()AX01P0.40.4BXabP0.60.4CXnn-1P0.60.4DX12P0.60.4D11. 设(1)区域D含有实轴的一段L； (2)函数u(x，y)+iv(x，y)及 u(z，0)+iv(z，0) (z=x+iy) 都设(1)区域D含有实轴的一段L； (2)函数u(x，y)+iv(x，y)及 u(z，0)+iv(z，0) (z
8、=x+iy) 都在区域D内解析，则(试证)在D内 u(x，y)+iv(x，y)u(z，0)+iv(z，0)正确答案：设f1(z)=u(xy)+iv(xy)rn f2(z)=u(x0)+iv(x0)rn 依唯一性定理在L上有f(z)=f1(z)而L每一点都是L的极限点而且LGf1(z)f2(z)都在G内解析由唯一性定理有f1(z)=f2(z)设f1(z)=u(x,y)+iv(x,y)f2(z)=u(x,0)+iv(x,0)依唯一性定理,在L上有f(z)=f1(z),而L每一点都是L的极限点,而且LG,f1(z),f2(z)都在G内解析,由唯一性定理有f1(z)=f2(z)12. 设数项级数收敛，
9、则( )必收敛。 A B C D设数项级数收敛，则()必收敛。ABCDB13. sin2xdx=( )。A.(1/2)*cos2x+CB.sinx*sinx+CC.(-1/2)*cos2x+CD.-cosx*cosx+C参考答案：BCD14. 若A为正交矩阵，则其行向量组线性无关 若A的行向量组线性无关，则A为正交矩阵？若A为正交矩阵，则其行向量组线性无关若A的行向量组线性无关，则A为正交矩阵？例 设，易知A的行向量组线性无关，而A不是正交矩阵15. 计算下列曲线围成的平面图形的面积： (1) yex，ye-x ，x1 ；(2)yx34x，y0； (3) yx2，yx，y2计算下列曲线围成的平
10、面图形的面积： (1) yex，ye-x ，x1 ；(2)yx34x，y0； (3) yx2，yx，y2x； (4)y212(x3)，y21正确答案：解 (1)另所求平面图形面积为A如图612所示则rn解(1)另所求平面图形面积为A,如图612所示,则16. 已知某人在求职过程中，每次求职成功的概率都是0.4，问他要求职多少次，才能有90%的把握获得一个就业机会?已知某人在求职过程中，每次求职成功的概率都是0.4，问他要求职多少次，才能有90%的把握获得一个就业机会?用A表示求职n次至少有一次获得一个就业机会，则表示求职n次没有获得任何就业机会，依题意，即1-(1-0.4)n0.9，解之得n4
11、.5所以至少要求职5次，才能有90%的把握获得一个就业机会17. 在椭圆抛物面，zc的一段中，嵌入有最大体积的直角平行六面体，则该六面体的尺寸为长=_，宽=_，高=_在椭圆抛物面，zc的一段中，嵌入有最大体积的直角平行六面体，则该六面体的尺寸为长=_，宽=_，高=_a$b$18. 设f(x)在a，b上连续，且证明：在(a，b)内至少存在两点x1，x2，使 f(x1)=f(x2)=0设f(x)在a，b上连续，且证明：在(a，b)内至少存在两点x1，x2，使f(x1)=f(x2)=0证法1 若在a，b上f(x)0，则命题结论成立，设f(x)不恒为零，且 则F(a)=F(b)=0，又F(x)在a，b
12、上连续，可导，可知F(x)=f(x),因此 (*) 由于F(x)为a，b上的连续函数，且，可知必定存在一点(a，b)，使F()=0,否则，与(*)式矛盾， 在a，b上对F(x)利用罗尔定理，可知必定存在x1(a，)，x2(，b)，使得 F(x1)=f(x1)=0， F(x2)=f(x2)=0 证法2 由题设，f(x)为a，b上的连续函数，可知必定存在点x1(a，b)，使f(x1)=0,否则不妨设在(a，b)内f(x)0，则与题设矛盾 设f(x)在(a，b)内不存在第二个零点，则不妨设 设g(x)=(x1-x)f(x)， 则 可知 又得出矛盾，表明f(x)在(a，b)内至少存在两个零点x1，x2
13、 19. 下列集合中为空集的是( )A.x|ex=1B.0C.(x，y)|x2+y2=0D.x|x2+1=0，xR参考答案：D20. 证明：对任一多项式p(x)，一定存在x1与x2，使p(x)在(-，x1)与(x2，+)上分别严格单调。证明：对任一多项式p(x)，一定存在x1与x2，使p(x)在(-，x1)与(x2，+)上分别严格单调。正确答案：21. 设函数f(x)，g(x)在a，b上连续，且在a，b区间积分f(x)dx=g(x)dx，则( )A.f(x)在a，b上恒等于g(x)B.在a，b上至少有一个使f(x)g(x)的子区间C.在a，b上至少有一点x，使f(x)=g(x)D.在a，b上不一定存在x，使f(x)=g(x)参考答案：C22. 解方程组 试用平方根法和追赶法分别解之。解方程组试用平方根法和追赶法分别解之。(1)平方根法A=LLT , , , 所以 由，解得 由，解得 (2)追赶法此方程组系数阵是三对角阵，且满足对角占优条件。 根据追赶法计算公式，有 2=a2=1,3=a3=1,1=b1=6, , 从而
