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1、：x = a cos讨=bsi n(参数方程，其中k=-聖a y。1,所以只有A B、C同号,高中数学椭圆的知识总结1. 椭圆的定义：平面内一个动点 P到两个定点Fi,F2的距离之和等于常数(PF, +|PF2 =2a丁店2 ),这个动点P的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距注意：若PFJ+PF2ITF1F2，则动点P的轨迹为线段F1F2;若PFi+|PF20=直线与椭圆相交；(2)相切：八：=0= 直线与椭圆相切；(3) 相离：厶：0二 直线与椭圆相离；2 2如：直线y kx 仁0与椭圆 +=1恒有公共点，贝U m的取值范围是 ；5 m4. 焦点三角形(椭圆上的
2、一点与两焦点所构成的三角形)5. 弦长公式：若直线y =kx b与圆锥曲线相交于两点 A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，I则AB = J*k?x1-x2，若yy2分别为A、B的纵坐标，则AB = J1 + 2y1 一y2，若弦 kAB所在直线方程设为 x =ky+b，则| AB = j1+k2|% - y?。6. 圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在 椭圆2 2务占=1中，以p(x,y)为中点的弦所在直线的斜率a b22如(1)如果椭圆話弋习弦被点A (4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是2 2x y(2) 已知直线y= x+1与椭圆2 =1(a
3、 b 0)相交于A、B两点，且线段 AB的中点在a b直线L : x 2y=0上，则此椭圆的离心率为 ；2 2(3) 试确定m的取值范围，使得椭圆 A =1上有不同的两点关于直线 y=4xm对称;43特别提醒：因为厶 0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称 问题时，务必别忘了检验厶.0 !椭圆知识点的应用1. 如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a, b ；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式
4、确定标准方程的类型。2. 椭圆标准方程中的三个量 a,b,c的几何意义椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：2 2 2(a b 0), (a c 0)，且(a -b c )。可借助右图理解记忆：a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3 如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2, y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程Ax2 By2=C(代B,C均不为零)是表示
5、椭圆的条件方程Ax2 By2 =C可化为C CC C且a= b时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在x轴上；当时，椭圆的焦点在yA BA B轴上。5 求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异2 2共焦点，贝y c相同。与椭圆笃爲=1 （a . b 0）共焦点的椭圆方程可设为 a b2 2xV2221（m -b ），此类问题常用待定系数法求解。a m b m7.
6、判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的x换成一x，方程不变，则曲线关于y轴对称； 若把曲线方程中的y换成-y，方程不变，则曲线关于x轴对称； 若把曲线方程中的x、y同时换成-x、一y，方程不变，则曲线关于原点对称。8 .如何求解与焦点三角形 PF1F2 （ P为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形 PFF2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式S应吋2 =丄PFi汉PFsinNFiPFz相结合的U 122方法进行计算解题。将有关线段|PF1、PF2，有关角NF1PF2 （ NF1PF2 WNF1BF2）结合起来，建立PF
7、+|PF2|、|PF1凶PF?之间的关系.9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？c长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e = -（0 ： e ： 1），因为 ac2 =a2 b2， aAc0，用 a、b 表示为 e =、： 1 - （一） （0 v e v 1）。显然：当越小时，e（0 ： e 1）越大，椭圆形状越扁；当越大，e（0 ： e ： 1）越小，aa椭圆形状越趋近于圆。题型1：椭圆定义的运用2 2x . y 例1已知F1,F为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于 A、B两点若259F2A+EBP2,贝U |AB =.x2 y222例3.已知P为椭圆1上的一点，M ,
8、N分别为圆（x 3） y = 1和圆2516（x 3）2 + y2 = 4上的点，贝U PM +| PN的最小值为题型2：求椭圆的标准方程例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.（1）经过两点 A（、3,-2）, B（-2.3,1）；22经过点（2，- 3）且与椭圆9x 4y =36具有共同的焦点；（3）一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4、2 - 4.题型3:求椭圆的离心率例1 ABC中，.a = 30, AB =2,2人8。=工3若以A, B为焦点的椭圆经过点 C，则椭圆的 离心率为.例2、过椭圆的一个焦点 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若F1PF2为等
9、腰直角三角形，则椭圆的离心率为题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）2 2例1.已知实数x, y满足- y 1,则x2 y2 - x的范围为422 2例2.已知点代B是椭圆刍=1m nuuuuuir(m 0, n 7 )上两点，且 AO - BO ,则=题型5：焦点三角形问题2 2例1.已知F1, F2为椭圆-1的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知 P, F1, F2为一个直角三94角形的三个顶点，且 PF1 IPF2 ,求書Fj的值.2 2例2.已知F1, F2为椭圆C： y 1的两个焦点，在C上满足PF1 一 PF2的点的个数为 841例3.已知椭圆的焦点是F1（0,-1）,F2
10、（0,1）,且离心率e 求椭圆的方程； 设点P在椭圆2上，且 PR - PF2 =1,求 coF1PF2.#例2.如果方程x2 +ky2 =2表示焦点在x轴的椭圆，那么实数 k的取值范围是 题型6:三角代换的应用2 2X y例1椭圆 一+L =1上的点到直线l：x + y-9=0的距离的最小值为1692 2例2椭圆X y1的内接矩形的面积的最大值为169题型7:直线与椭圆的位置关系的判断2 2例1当m为何值时，直线 y = x m与椭圆-=1相交？相切？相离？1692 2例2若直线y二kx 1（k R）与椭圆 L = 1恒有公共点，求实数 m的取值范围；5 m题型8:弦长问题4 2 2例1求直
11、线y =2x-4被椭圆一L - -1所截得的弦长992x 2例2已知椭圆y2 =1的左右焦点分别为 F1,F2，若过点P（ 0, -2）及F1的直线交椭圆于 A,B2两点，求ABF2的面积；题型9:中点弦问题2 2例1.求以椭圆 =1内的点A （2, -1 ）为中点的弦所在的直线方程。85例2中心在原点，一个焦点为 F1 （0, 50）的椭圆截直线y = 3x - 2所得弦的中点横坐标为 舟,求椭圆的方程.2 23.椭圆詁亍1的一条弦被A *平分，那么这条弦所在的直线方程是4.若F1, F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点 若/ PF1F2 :/PF2F1 :/F1PF2 = 1: 2 :3，
12、则此椭圆的离心率为2 25.在平面直角坐标系中，椭圆 一差=1（a b 0）的焦距为2c,以O为圆心，a为半径的圆, a b2过点（,0）作圆的两切线互相垂直，则离心率e =C基本知识点双曲线定义标准方程（焦点在x轴）2 2x2-_-y2 = 1(a0,b0)a b双曲线标准方程（焦点在 y轴）2 2y2 - x2 二 1(a0,b0)a b定义：平面内与两个定点 F1 , F2的距离的差的绝对值是常数（小于 IFj）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。MF1 |MF2 2: F1F2例3.椭圆mx2十ny2 =1与直线x十y =1相交于A B两点，点C是AB的中点.若AB = 22OC的斜率为（O为原点），求椭圆的方程.巩固训练1.如图，椭圆中心在原点,F是左焦点，直线AB1与BF交于。,且BDB1=90o范围对称轴则椭圆的离心率为 X222设F1F2为椭圆7 y勺的两焦点,uuu uurP在椭圆上，当 F1PF2面积为1时，PF1 PF2的值为对称中心焦点坐标卜2./xPkF1、x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b原点0(0,0)已（弋0）F2（C,0）R(0,-c)F2(0,C)
