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1、复数一、知识点梳理：1、i的周期性：i 4=1,所以，i4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i4n=1 n Z4ni 4n 1 4n 2 4n 3i i i2、复数的代数形式:a bi a,b R , a 叫实部,b叫虚部，实部和虚部都是实数。C a bi |a,b R叫做复数集。隼瑁车有C.3、复数相等：a bi cdi a c且b=d； a bi 0 a0且b=0实数(b=0)4、复数的分类：复数Zabi一般虚数(b0,a 0)虚数(b 0)纯虚数(b 0,a 0)虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3 i,6 2i也没有大小。uiruir5、复数的模：若向量OZ
2、表示复数Z,则称OZ的模r为复数z的模，z |a bi | Ja2 b2 ；积或商的模可利用模的性质(1)z,Lznz1z2 Lzn, (2) 3.z20Z2z26、复数的几何意义:复数z a bi a,b R一对应复平面内的点Z(a,b)一一对应uu其中x轴叫做实轴, 虚轴上的点都表示纯虚数复数Z a bi a,b R平面向量OZ,7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面, y轴叫做虚轴.，实轴上的点都表示实数；除了原点外，8、复数代数形式的加减运算复数zi 与z2的和：zi+z2=(a+bi)+(c+di )=(a+c)+( b+d) i.a,b, c,dR复数zi
3、与z2 的差：zi- z2=( a+bi)-(c+di )=(a- c)+( b- d) i.a, b, c, dR复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数 z产a+bi, z2=c+di a, b,c, d R ； OZ = OZ, +OZ2 =(a, b)+( c,d)=( a+c, b+d) = (a+c)+( b+d) iur uruuuu uuur复数减法的几何意义：复数zi-z2的差(ac)+( bd)i对应由于Z2ZiO乙 OZ2,两个复数的差z zi与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应9.特别地，zuuBzb-za, zAgABzBzA为两点间的距离。z对应
4、的点的|z zi | |z z2|z对应的点的轨迹是线段 乙Z2的垂直平分线；|z z0| r轨迹是一个圆；| z z11 | z z212a乙Z22az对应的点的轨迹是一个椭圆;|z4 | |z z2 12a Z1Z22az对应的点的轨迹是双曲线。10、显然有公式:11、ziz2ziz2ziz2ziz2ziz22 zi复数的乘除法运算:z2复数的乘法：z1z2= ( a+bi)( c+di )=( acbd)+( bc+ad) i. a,b,c,d R复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集R中正整数指数的运算律*，在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3及m”N有:m n_ m+
5、n(m n_ mn(z)n=z1 21n nz2复数的除法:乙一 (a+bi)z2bi ac bdbc adi a,b,c,d R ,分母实 c d数化是常规方法12、共轲复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轲复特别地，虚部不为0的两个共轲复数也叫做共轲虚数;a bi, z a bia,b,两共轲复数所对应的点或向量关于实轴对称。|z| . a2 b22. 2z z a b R, z,z1z2z1z2,乙 z2z1z1z2z2一，一，113、熟记常用算式：1i14、复数的代数式运算技巧:(1i)22i(1 i)22_(1)(1 i) 2i(1i)22i1(2)
6、“1”的立方根15、实系数(D当(2)当兀-b2的性质:次方程的根问题：4ac。时，方程有两个实根X1 , X2 Ob2 4ac 。时，方程有两个共腕虚根，其中X1X2 O此时有注意两种题型:虚系数韦达定理。已知X2(1)X2Xi(2)当X2XiXiX2Xi X2,且 Xi,2ab , i2a(i) XiX2二次方程有实根问题:Xi是实系数(2) Xi二次方程,2b 4ac 0 时,、2(Xi X2)4xiX2.2b 4ac 0 时,/(Xi X2)24x1x2X2不能用判别式法,ax2 bx c. b2 4ac.4ac b2般用两个复数相等求解。但仍然适用0的两个根，求x2 xi的方法:已知
7、X1,X2是实系数二次方程2aXbXc 0的两个根，求x2Xi的方法:(1)2b 4ac。时,X2X2XiXiX22) XiX2X2XiXiX2.(XiX2)24X1X2b2 4ac(2).2b 4ac 0 时,X2Xi2 Xi2 X1 x2二、典例分析:2例1.复数出丁等于(A.i -iB.i+iC.i+ iD.(1+i) 2 2i解析：复数二= i(i i) 1 i i i(2)若复数z同时满足z- z=2iz = iz (i为虚数单位)，则z =旦D.ad+bc=0ac+bd=0解：已知 Z iZ 2i Z ；2k i i(3)设a、b、c、de R,则复数(a+bi)(c+di)为实数
8、的充要条件A. adbc=0B. ac- bd=0 C.解析：(1) a,b, c R,复数(a bi)(c di) = (ac bd) (ad bc)i 为实数，ad bc 0 ,选D;(4)已知二- 1 i(A)1+2i解析：mL i1 i1 ni,其中m, n是实数，i是虚数单位，则 m ni ()(B) 1 2i (C)2+i(D)2 i.,一，小 1 n0ni m 1 n 1 n i ,由m、n是实数，得,1 n mm ni 2 i ,故选择C(5)设x, y为实数，且x-y-则x y1 i 1 2i 1 3i解析:x y1 i 1 2ix(1 i) y(1 2i)55(1 3i)1
9、01 3i所以个 y 1且)2y2 22 5 225所以x+ y= 4。点评：本题考查复数的运算及性质，基础题。例2: (1)计算： 2“31 2 . 3i199621 i答案：1 i(2)设复数z满足关系z | z| 2 i ,求z；解：设z=a+bi (a,b为实数)，由已知可得a bi Ja2 b22 i由复数相等可得：aVab 2,解得a 3b1,所以z 3ib144设z=a+bi-x+yi (a,b为实数)复数问题实数化。(3)若 x C ,解方程 |x| 1 3i x1 a (3 b)i ,由复数相等的定义可得:解：设x=a+bi (a,b e R)代入条件得：为；a2b22,2.
10、、a b 1 a , 1. a=- 4, b=3, . . x= 4+3i。3 b 022例3: (1)复数z满足| z i | z i |1 ,则z对应的点在复平面内表示的图形为(A)A.直线 B .圆 C .椭圆 D .抛物线解：令 z=x+yi (x, y C R),贝U x2+(y+1) 2 x 2+(y 1) 2=1 , . . y=1/4。故选 A。(2)设复数z满足：|z 3 V3i | 3 ,求|z|的最大值与最小值;解：|z|的最大值为373 ,最小值为 翼；(3)已知 zC C, |z2|=1且复数z- 2对应的点落在直线 y=x上，求z。解：设 z 2=a+ai , |z
11、 -2|=1 , a 它，2【思维点拨】从整体出发利用条件, 复杂。可简化运算，本题也可设z=a+bi再利用条件，但运算(4)设 z C,1 |z| J2,则复数u z(1 i),在复平面内对应的图形面积为解：: |u|二| z | ?|1+i|二 - 2 |z|，.二，2 |u| 2,故面积 S二22(J2)22 。【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法O 例4：已知z=1+i , a, b为实数,(1)若 3 =z2+3z 4,求 |,2若T 1i ,求a, b的值。解：(1) ”(1+i) 2+3(1例5：设z C,且一是纯虚数, z 1求| z i |的最大值。解：令 z=
12、x+yi ( x, y C R)，则一zz 1(x1)y(x 1)2y2是纯虚数,z 10,即(x14(y合可知本题是求圆/1 221(x 3) y (y0)上的点到A(0, -1)0),由数形结i) 4= 1i , |2 (2)由条件(a b) (a 2)i1 i ,(a b) (a 2)i1【思维点拨】利用复数的充要条件解题。5 1的取大距离。，| z i|max=|PA|=。练习：1.已知复数z与(z2.1. (a 2i)i bA. 0 B. 2 C.2)i2 8i均是纯虚数，则z,其中a、be R,2ib2= ( D )3.设复数co =(A)co4.复数1._i22+亭,(B) 32(C)(D)工的共轲复数是(B 11 、一 25.若复数z满足方程zA. 2 2B.2.26.设 a、b、B. 1 22 0, C.-Hr a ,右一1.i2则z32,2iC.D.(A) bcad7.如果复数(m2A. 1 B0i)(1Cc d i(B) bcmi)是实数,. .2 D8.(i ) 2005ii B. - i()D. 2, 2ibi为实数,ad 0则实数(C)(bc ad)B(D) bc ad
