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1、高考数学平面向量题的七种解法玉林高中 刘飞一、 基底法例1(2013江苏) 设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_【答案】解析 如图所示，()，又12，且与不共线，所以1，2，即12.例2(2013天津)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点，若1，则AB的长为_【答案】解析 由题意得，所以()2212|11，解得|或0(舍去)例3.（2007天津）如图，在中，是边上一点，则法一：选定基向量，由图及题意得，=（）（）=+=法二：由题意可得，=故答案为：二、 坐标法例4（2013重庆）在平面上，=1，若|，则|的取
2、值范围是（）A（0，B（，C（，D（，解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形A，B1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则|，（xa）2+y2=1，x2+y2+a2=1+2ax1+a2+x2，y21同理x21x2+y22由知，|=，|故选D例5（2013浙江）设ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）AABC=90BBAC=90CAB=ACDAC=BC解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（
3、x，0）则BP0=1，A（2，0），B（2，0），P0（1，0）=（1，0），=（2x，0），=（ax，b），=（a1，b）恒有（2x）（ax）a1恒成立整理可得x2（a+2）x+a+10恒成立=（a+2）24（a+1）0即=a20a=0，即C在AB的垂直平分线上AC=BC故ABC为等腰三角形故选D本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力三、 模方法例6ABC内接于以O为圆心的圆，且则C=135，cosA=解：=A，B，C在圆上设OA=OB=OC=1根据 得出A，B，C三点在圆心的同一侧根据圆周角定理知C=1
4、8090=135同理求出=，cosBOC=A是BOC的一半故答案为：135；例7（2013浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、yR若、的夹角为30，则的最大值等于2解：、 为单位向量，和的夹角等于30，=11cos30=非零向量=x+y，|=，=，故当=时，取得最大值为2，故答案为 2四、 数量积法例8给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.解析设，即例9在ABC中，AB=2AC=2，BAC=120，若（O是ABC的外心），则x1+x2的值为解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0）
5、，B （2，0），C（，）O为ABC的外心，O在AB的中垂线 m：x=1 上，又在AC的中垂线 n 上，AC的中点（，），AC的斜率为3，中垂线n的方程为 y=（x+）把直线 m和n 的方程联立方程组解得ABC的外心O（1，），由条件 =，得（1， ）=x1 （2，0）+x2 （，）=（2x1x2， x2 ），2x1x2=1， x2=，x1 =，x2 =，x1+x2=，故答案为：点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值属中档题五、 几何法例10在ABC中，若对任意kR，有|k|，则ABC的形状是（）A直角三角形B等腰三角形C
6、等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解：如图：设 =k，则 k =，不等式即|，|是点A与直线BC上的点连线得到的线段中，长度最小的一条，故有ACBC，故则ABC为 直角三角形，故选A本题考查向量和、差的模的几何意义，体现了等价转化的数学思想，把题中条件转化为ACBC例11（2013湖南）已知，是单位向量，若向量满足，则的取值范围为（）ABCD解：令，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为1，所以的取值范围为1，+1故选A例12图32005年全国（I）卷第15题“的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，则实数=_”先解
7、决该题：作直经，连，,有，故，故是平行四边形，进而，又故，所以评注：外心的向量表示可以完善为：若为的外心，为垂心，则。其逆命题也成立。六、 面积法结论：. O为ABC内一点，记，求证：证明：如图4建立坐标系。设则，从而由于故所以例13（2007南通模拟）已知O是ABC内一点，则AOB与AOC的面积的比值为解：设M为AC的中点，则由向量加法的平行四边形法则可得由可得，从而可得B，O，M三点共线即BM为AC边上的中线由2OM=3BO可得，SAOB=SCOB=故答案为：本题主要考查了平面向量的加法的平行四边形的应用，向量的共线与点共线的相互转化，解题的关键是要发现由2OM=3BO可得，及三角形AOB
8、与三角形BOC的面积相等七、 射影法例14已知P为ABC的外心，且|=4，|=2，则等于6解：（）作PDAC于D，则P为ABC的外心，=，可得=|cosPAD=|=|2=8同理可得=|2=2（）=82=6故答案为：6本题在三角形中给出外心，求向量数量积的式子着重考查了三角形的外心的性质、向量数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题例15.（2013绵阳模拟）已知O为ABC的外心，的最大值为（）ABCD法一、法二、解：如图所示，以BC边所在直线为x轴，BC边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系（D为BC边的中点）由外接圆的性质可得BOD=COD=BAC由，不妨设外接圆的半径R=3则OA=OB=OC=3，OD=1.B，C，O（0，1），A（m，n）则ABC外接圆的方程为：x2+（y1）2=9（*），（m，1n）=，+1时，否则，由图可知是不可能的可化为，代入（*）可得，化为18（+）=9+32，利用重要不等式可得，化为8（+）218（+）+90，解得或又+1，故应舍去，故+的最大值为故选D点评：本题考查了通过建立直角坐标系解决向量的有关运算、圆的标准方程、基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、三角形的外接圆的性质、余弦函数等基础知识与基本技能方法，属于难题内容总结
