《（课标专用）天津市高考数学二轮复习 专题能力训练16 椭圆、双曲线、抛物线-人教版高三数学试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（课标专用）天津市高考数学二轮复习 专题能力训练16 椭圆、双曲线、抛物线-人教版高三数学试题（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线专题能力训练第38页一、能力突破训练1.已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28y210=1B.x24y25=1C.x25y24=1D.x24y23=1答案:B解析:由题意得ba=52,c=3.因为a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为x24y25=1.2.已知以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.若|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8答案:B解析:不妨设抛物线C
2、的方程为y2=2px(p0),圆的方程为x2+y2=R2.因为|AB|=42,所以可设A(m,22).又因为|DE|=25,所以R2=5+p24,m2+8=R2,8=2pm,解得p2=16.故p=4,即C的焦点到准线的距离是4.3.若双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=3xC.y=22xD.y=32x答案:A解析:e=ca=3,c2a2=b2+a2a2=ba2+1=3.ba=2.双曲线焦点在x轴上,渐近线方程为y=bax,渐近线方程为y=2x.4.已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲
3、线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x24y212=1B.x212y24=1C.x23y29=1D.x29y23=1答案:C解析:由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=bax.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EFCD于点E.由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以|EF|=12(d1+d2)=3.又因为点F(c,0)到y=bax的距离为|bc-0|a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因为e=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线的方程为x23y29=1.故选C.5.设双曲线x2a2y2b
4、2=1(a0,b0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若OP=mOA+nOB(m,nR),且mn=29,则该双曲线的离心率为()A.322B.355C.324D.98答案:C解析:在y=bax中,令x=c,得Ac,bca,Bc,-bca.在双曲线x2a2y2b2=1中,令x=c,得Pc,b2a.当点P的坐标为c,b2a时,由OP=mOA+nOB,得c=(m+n)c,b2a=mbca-nbca,则m+n=1,m-n=bc.由m+n=1,mn=29,得m=23,n=13或m=13,n=23(舍去),bc=13,c2-a2c2=1
5、9,e=324.同理,当点P的坐标为c,-b2a时,e=324.故该双曲线的离心率为324.6.已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.答案:2解析:四边形OABC是正方形,AOB=45,不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x.ba=1,即a=b.|OB|=22,c=22.a2+b2=c2,即a2+a2=(22)2,可得a=2.7.已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MA
6、N=60,则C的离心率为.答案:233解析:如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b.MAN=60,|AP|=32b,|OP|=|OA|2-|PA|2=a2-34b2.设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为,则tan=|AP|OP|=32ba2-34b2.tan=ba,32ba2-34b2=ba,解得a2=3b2,e=1+b2a2=1+13=233.8.如图,已知抛物线C1:y=14x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求PAB的面积.注:直线与抛物
7、线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解:(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t).由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得x2-4kx+4kt=0.由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0).由题意知,点B,O关于直线PD对称,所以y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2.因此,点B的坐标为2t1+t2,2t21+t2.(2)由(1)知|AP|=t1+t2和直线PA的方程tx
8、-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=t21+t2.设PAB的面积为S(t),所以S(t)=12|AP|d=t32.9.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|0,而当1或-1为方程的根时,m的值为-1或1.结合题设(m0)可知,m0,且m1.设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),则xQ,xR为方程的两根,因为|PQ|PR|,所以|xQ|1,且1+3m22,所以11+221+3m2-13,且1+221+
9、3m2-153,所以1|PR|PQ|=xRxQ3,且|PR|PQ|=xRxQ53.综上所述,|PR|PQ|的取值范围是1,5353,3.10.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|MA+MB|=OM(OA+OB)+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2x00,b0)的左、右焦点,O是坐标原点,过点F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为()A.5B.2C.3D.2答案:C解析:如图所示,由题意可知,|PF2|=b,|OP|=a.由题意,得|PF1|=6a.设双曲线渐近线的倾斜角为.在OPF1中,由余弦定理知cos(180-)=a2+c2-(6a)22ac=c2-5a22ac=-cos.cos=ac,c2-5a22ac=-ac,解得c2=3a2.e=3.13.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为线段FN的中点,则|FN|=.答案:6解析:设N(0,a),由题意可知F(2,0).又M为线段FN的中点,则M1,a2.因为点M在抛物线C上,所以a24=8,即a2=32,即a=42.所以N(0,42).所以|FN|=(2-0)2+(042)2=6.14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为F的
