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1、高等数学竞赛讲座( 笔记 ) 2009 年 9 月第一讲：极限1、 数列极限：n方法：重要极限： lim 1 1e ， lim n n1， lim n a 1 a0nnnn收敛准则：夹逼定理：若yn xnznn N 且 lim ynlim zn a ，则nnlim xna ；n单调有界定理：单调有界数列必有极限；定积分定义：要求：f x 在 a,b 上连续，则bnni11f x dx ；f x dxlimf ixilimf0a0 i1ni 1nn级数收敛必要条件：若un 收敛，则 lim un0 ；n 1n构造函数法：记 unf n 或 unf1，通过讨论 fx的极限，得到 lim un 。n
2、n（注意：若limf xA，则 lim f nA ，反之不亦，比如取f x0 ，但sin x ， lim sin nxnnlim sin x 不存在。）x注： 1、设 lim xn 存在，则 limx1x2xn也存在，且 limx1x2xnlim xn ；nnnnnn（反之不亦）2 、若 xn0 且 lim xn 存在，则 lim n x1 x2 xn也存在，且 limn x1x2 xnlim xn ；nnnn举例分析 ：例 1：（ 2006-1 ）设数列 xn满足 0 x1， xn 1sin xn n 1,2,，（ 1）证明 lim xn 存在，并n1xn2xn 1求其值；（ 2）求 lim
3、nxn解：（ 1）由 0 x1知0x2sin x1 x1；设 0 xn，则 0xn 1sin xnxn，由归纳法得xn 单调减少且有下界，故lim xn 存在；n不妨设 lim xna ，由 xn1sin xn 得 asin a ，故 a0 ，即 lim xn0 ；nn1xsin xxx31sin xx 2sin xx sin x x（ 2）考虑 limlim1e 6x 0xx 0x故 lim xn 11lim sin xn11122sin x x 2xnxnlime 6 .nxnnxnx0x例 2：设 xnanb nc n1n ，其中 a0, b0, c0 ，求 lim xnn解：设 Mma
4、xa,b, c ，则 Mxnn3 M ，由 lim n 31，n得 lim xnMmax a, b, c。n1例 3：求 lim n! n 2n解：由111 ln 1ln 2ln n0n2 ln n!n2 ln 1 ln 2ln nn 12n，及 lim ln n110，得 limn!lim en2 ln n !e01n2nnnn例 4：求 limn11n2kkkknn1n1k 1nx11 ln n x解：取 fx1x ， ln fx1 ，求导：x故 fx0 ，即 fx单调增加，因此nn1n，由n 1k 1 k nk1n nn1nnn11，同理limlim1，得 limn nnn n 1n1n
5、k 1 k nk1nn1nn11，由得 limn n n1k 1 k n k1n 1nk 1 k nk1从而 limn112 。kkkknkn1n11例 5：（ 1）证明若 limanan 1d ，则 limand；若 an 0，且 limand ，则nannnn1lim nand ；（ 2）求 limnn .nnn!解：（ 1）记 bnanan1 ，则 lim bnd ；nananan 1an 1an 2a1a0a0b1b2nbna0 ，nnn由 lim b1b2bnd 得 lim and ；nnnn记 bnan，则 lim bnd ； n ann a0a1a2anna0n b1b2bnan1na0a1
