目录1 引言 12 无界区域上的二重积分 12.1 定义 12.2 u f（x,y）db收敛的判定 2D2.3b函数与r函数的联系 43 无界函数的二重积分 93.1定义 93.2 判定定理 93.3无界函数计算 10参考文献 11致谢 12二重积分的反常积分数 学 系本 0601 班 魏 慧指导教师：梁素萍摘 要：本文探究了二重积分中的两种反常积分，即无界区域上的二重积分和无 界函数的二重积分，分别从定义及其判别法两个方面研究了关于二重反常积分的敛散 性，同时还计算了泊松(Poisson)积分，并用其证明了 B函数与r函数的关系式， 鲜明地反映反常二重积分在证明某些题目时的优越性关键词： 二重积分， 反常， 广义 Double integral of the improper integralName: Wei HuiClass0601, Mathematics DepartmentTutor: Liang SupingAbstract：This paper discusses the double integral of the two kinds of abnormal points, namely the unbounded regional double and unbounded function, the double integral respectively from two aspects of definition and research method about double abnormal integral convergence, also calculated, pine (Poisson t abor, and its proof) r func tion with the function equation, vividly reflected abnormal double to prove some questions in the superiority.Key words: Double integral, Abnormal , Generalized.1 引言与定 积分相 同 ， 我们也 可 以把 二重积 分推 广 到积分 区域 是无界 的 和被积函数是无界的两种情形，统称为反常二重积分。
2 无界区域 上的二 重积分2.1 定 义反常二重积分是数学分析中的一个重要内容，用它来计算泊松(Poisson )积 分，或是用它来证明B函数与「函数的关系式，都是十分简捷的在概率、统 计、数理方程等学科中,反常二重积分也被广泛的引用所以,对反常二重积分给 出一个严格、明确而又易于运用的定义,是十分有益的定义1 f(x,y)为定义在无界区域D上的二元函数，若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线Y，f (x, y)在曲线Y所围的有界区域EY与D的交集E "jD = D上二重可积令d 丫 = min {/ x 2 + y 2 | (x, y) ey }，若存 Y Y *在有限极限：J = JJ f (x, y) d ◎ = lim f (x, y) d ad TaD 丫 DY且与丫的取法无关，则称f(x,y)在D上的反常二重积分收敛，并记1)J = JJ f (x, y )do =lim JJ f ( x, y)da ;d Tay DY否则称f (x,y)在D上的反常二重积分发散，或简称JJ f (x,y)da发散D2.2 H f(x,y)da收敛的判定D定理1设在无界区域D上f (x, y) > 0 , Y , Y Y ,・・・为一列包围原点的1 2 n光滑封闭曲线序列，满足(i) d = inf{p'x2 + y2|(x, y) ey } T^(n ts)；n n(ii) I = sup JJf (x, y)da <+s，nDn其中D = E D，E为y所围的有界区域，这时反常二重积分(1)必定收n n n n敛，并且 JJ f (x, y)da = ID证 设 Y '为任何包围原点的光滑封闭曲线，它所围成的区域记为 E '，并记D' = E' P|D。
因为limd = ，因此存在 n,使得D' u D u D由于XT8 n nf (x,y) > 0，所以有JJ f (x, y)da f (x, y)da < ID' Dn另一方面，因为I = sup "f (X, y)da，nDn故对任给的w> 0，总有n ,使得口 f (x,y)da > I-s0Dn0因而对于充分大的D'二D，n0有 H f (x, y) da > I -sD'再由 I 一 £<口 f (x, y)da < ID'可知反常二重积分 K f (x,y)db存在，且等于ID 由定理 1 的证明容易看到有以下定理：定理2若在无界区域D上f (x, y) > 0，则反常二重积分(1)收敛的充要条件是：在D的任何有界子区域上f (x, y)可积，且积分值有上界例1计算广义积分口 e-(x2+y2)dbR2解：对广义积分JJe-(x2+y2)db，取圆D : x2 + y2 < a2，则R2JJe-(x2 + y2)db =兀(1— e-a2)显然a T s时D T R2，因此有aJJe-(x2+y2)db = lim JJe-(x2+y2)db = lim 兀(1-e-a2)=兀R2aT+s aT+sDa例 2 利用 JJe-(x2+y2)db =兀计算J+se-x^dx.-sR2解：对广义积分JJe-(x2+y2)db =兀，若选择正方形方式扩展，取D : I x 1< 1 ,丨y 1< 1,1R2JJ e-(x2+y2 )db = J 1 dx J 1 e - ( x 2 + y 2 ) dy- 1 - 1DlJ1 [J1 e - x2 - e - y2 dy ] dx- l - lJ1 [e-x2 J1e-y2dy ]dx-1 -1J1 e - y2 dy - J1 e - x2 dx-1 -1[J le -x2dx ]2 -l显然当l T+s时有D T R2，因此有lJJe-(x2+y2 )db = lim JJe-(x2+y2 )db1T+sD1R2= lim [J1e-x2dx]2 =[J+se-x2dx]21 T +s - 1 -s由此得到 J*" e - x 2dx — \：n—g注：事实上概率论中很重要的泊松积分J+ge-x2dx的计算有更为简便的算法，-g因e-x2的原函数不能用初等函数表示，故用一元广义积分的方法不能求出该积分的值。
但 I — J+g e-x2dx — J+ge-y2dx-g -gn 12 — J+ge-x2dx J+ge-y2dx — J+g J+ge-x2-yydxdy — n-g -g -g -gn I — J+g e - xy dx = 5-g若在泊松积分J +ge-xydx中令x —-g+g-g2 dx+g-gx22 dx — 11 x2 , _ . .而此式中的被积函数P（x） — = e-2是统计学中常用的标准正态分布的密度 2n函数小结： 在计算反常二重积分时，一般选择有利于计算的特殊区域（如圆、矩形等）扩展方式，讨论相应极限的存在性2.3 B函数与r函数的联系证明：若p > 0,q > 0，则证 对于r函数，令x — u2则dx — 2udu，于是 r( p) — J+g xp-ie - xdx — 2 J+g u 2 p -ie - u2 du00从而r(p)r(q) — 4J+gx2p-ie-x2dx-J+g y2q-ie-y2dy00—lim 4 J R x 2 p-ie - x2 dx -J R y 2 q-ie - y2 dyRs 0 0令D二[0,R]x[0,R]，由二重积分化为累次积分的计算公式，有RJJ x 2 p-i y 2 q-ie -( x2+y 2)db = J Rx 2 p-ie - x2 dx J R y 2 q-ie - y2 dy00DR所以这里Dr( p )r(q) = lim4 JJ x 2 p-i y 2 q-ie -( x2+y2)daR-aDR2)= 4JJ x2 p-iy2q-ie-(x2+y2)dbD为平面上第一象限。
下面讨论(2) 式右边的反常二重积分，记D 二{(x, y)l x2 + y2 < r2,x>0,y >0}. r于是有r( p)r(q) = 4JJ x 2 p-i y 2 q-ie-(x2+y2)daD= lim4 JJ x2 p-i y2q-ie-(x2+y2)dbr -aDr对上式积分应用极坐标变换，则得r(p)r(q) = lim4 J 2 d0 Jrr2(p+q)-2 cos2p-i 9 sin2q-i 9e-r2 rdrr -a 0 0=lim2 J 2 cos2p-i9 sin2q-i9d9 - 2『rr2(p+q)-2e-r2rdrr-a 0 0匹=2J 2COS2p-i 9 sin2q-i 9d9r(p + q)0又 B(p, q) = 2J 2sin2q-i 9cos2p-ipdp0•: r(p)r(q) = B(p, q)r(p + q).定理3 (比较判别法)设D是平面R 2中无界区域，f (x, y), g (x, y)是D上的函数， 在D的任何有界可求面积的子区域上可积，并且JJ f (x, y)dxdy 收敛时； ff g (x, y)dxdy 发散时D0< f(x, y) < g(x, y)。
那么(1) 当 JJg(x, y)dxdy 收敛时(2) 当 JJf (x,y)dxdy 发散时，D例 3 设 0< m <9 (x,y) < M，讨论JJ —— dxdy 的敛散性1+ x 2 + y 2) p0< y<1解：0 < y < 1为无限带状区域，m < I 申(x, y) I < M(1+ x 2 + y 2) p (1+ x 2 + y 2) p (1+ x 2 + y 2) P所以原积分与积分JJ dxdy同时敛散(1+ x2 + y2)p0 0的情况因0< y <1时0<1(2 + x 2) p1(1+ x 2 + y 2) p1(1+ x 2) p在[-A,A]x[0,1]上取积分，并令AT+s，可知:J+8-sdx(2 + x 2) pJJ dxdy(1+ x 2 + y 2) p 01时积分收敛2从左边看，知p <1时积分发散总之，原积分当且仅当p >1时收敛22定理4设D是平面R2中无界区域，f 6, y)在D上的可积函数的充分必要条件是I。