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1、沙子的开采问题摘要本文主要研究的是估算某一地区的含沙量，并做出开采沙子的收益分析。针对问题一，我们根据题中表格中已有的数据，利用线性插值的方法对相邻 两点作线性外推，估算出了缺少的数据。然后通过matlab画出地表、沙层顶部 以及沙层低部的等高线。为了更精确的计算出表土层与沙层的体积，用matlab 对数据进行线性插值，将50米x50米的方格精确到1米X1米的小方块。再利 用体积公式近似计算出表土层与沙层的体积，进而得到该矿含沙量超过400万 吨，表土体积小于沙子体积19%，可以对这项工程进行投资。针对问题二，构造单位面积的利润函数，利用matlab软件画出利润等值线。 由于贴现的缘故，施工应
2、按照利润由大到小的顺序进行。所以施工顺序是按照等 值线的分布进行的。在确定每个阶段的施工时间后，分别计算利润，进而求得总 利润。关键词：沙子的开采 线性插值 matlab 贴现率一. 问题简述沙子作为最重要建筑材料之一，一直有着稳定的市场。沙子在形成之后上 面覆盖着表土，由于表土层结构松散，沙子只能露天开采即先将表土移走再挖沙 子。现有一开采地，四周有几块沼泽地。蓝色隧道公司为生产建筑材料委托一支 地质队调查该开采地，在开采地上画的网格点处用空心管垂直钻入地下.利用进 入空心管的厚度的开采地的面积可得出表土和沙子的体积，其中每个网格点中最 上面一项是地表高度，中间一项是沙层顶部的高度，最下面一
3、项是沙层底部的高 度.由于地表存在沼泽地，部分网格点的数据没有采集，即所给表中的数据空白 处.现有该公司提供的相关材料，需要解决以下工作：(1) 通过计算表土和沙子体积决定是否该对这项工程进行投资，并画出地表、 沙层顶部以及沙层低部的等高线。(2) 如果可以投资，根据已给数据和条件设计开采方案，做出收益分析作并 求出相应的利润。二. 问题分析问题一：开采地四周的沼泽地也存在沙子，所以要补充完整表格中的数据， 即分别把表土高度、沙层顶部高度、沙层底部高度的数据估算出来。根据网格中 已有的相关数据，取前后或上下两个连着的数据，利用线性插值法进行数据处理， 然后用Matlab编程运算分别得出表土高度
4、、沙层顶部高度、沙层底部高度的等高 线图。题中给出的地表高度、沙层顶部和沙层底部高度的原始数据，相临的点相 距50米。为了更精确地计算表层体积，对沙子的储量作精确的估算，用matlab 软件对数据进行插值，使得相临的点彼此相距1米，每个网格是1 1的小方块， 经过插值后的数据可更精确地反映沙层厚度分布情形。我们将所有的沙土汇集在 单位网格，网格点补充完整后就根据网格点中的数据分别算出每个小区域的表土 厚度(表土高度-沙层顶部高度)和沙层厚度(沙层顶部高度-沙层底部高度)， 利用体积公式累加求出沙层、土层的总体积。问题二：为解决开采沙子的收益分析，首先要构造利润函数。在不考虑成本 中每月10万元
5、的地区管理费的情况下，单位面积利润函数（单位：元/米2 ）只存 在沙和土的密度与厚度这俩个变量，沙的销售单价，沙和土的开挖费和运输、处 理费都为固定值。根据所得利润函数利用matlab软件求得函数的等值线。由于每 个月交纳的10万元地区管理费，再考虑到每月最多开挖量10万吨的限制，只作出 了该函数大于等于0的范围，我们的施工设计局限于该范围。由于10万吨的限制将 施工区域分成几个部分，按阶段施工，分别求出各阶段的利润，求和得出总利润。三. 模型假设1. 假设题目中所给数据都是准确的。2. 开采地沙层与表土层都是连续的，近几年不会发生地质以及自然灾害造成地 质构造的变化。3. 月贴现只针对利润，
6、并不包括其他费用。4. 沙子的单价，开采费用以及其他投入价格不会发生改变。5. 每月利润当月结算，所得收入在月底统一贴现。四. 符号说明符号m1P1 v1 m2P2v2f(x,y)符号说明表土的质量表土的密度表土的体积沙子的质量沙子的密度沙子的体积单位面积利润函数开采单位面积沙土所获利润单位吨吨/立方米立方米吨吨/立方米立方米磅/平方米磅4.1问题一:五. 模型的建立与求解要解决表土和沙子的体积就要填充网格中所空白数据，首先对网格中的所 给出的数据进行分析，利用二维线性插值法较精确地估算出表格中因沼泽地原因 无法测得的数据。二维线性插值法方法如下： 首先在X方向进行线性插值，得到：f (Q11
7、)+_- f (Q )where x2 - %21Ri= 3七)然后在Y方向进行线性插值+ x f (q )where12 -2 -122R2= 3 乂)得到:f (P) n 也工 f (R ) +.11 f (R )W12这样就得到所要的结果:f(X y) n + (x x)(y y) +(x2 气)(y 2 y1) 22f(Q )1 /，、,(x x)(y y )+ (X2 气)(y 2 y1) 2f(Q ),21( x 气-气)(y 2 y1) f(Q ) 12 1 ao-气）（）+/、/、(- -)(y1 (X2-1)(* V1即得到如下数据表格:ABCDEFGHIJKLMNO22.3
8、22.0421.922.022.423.223.423.222.822.523.023.223.222.621.9019.119.019.319.520.020.620.419.919.3518.417.818.019.019.018.816.414.212.18.75.84.12.11.10.50.40.40.60.20.23.622.422.422.522.623.023.123.223.423.524.024.024.023.823.022.2120.419.519.619.719.920.020.019.819.920.019.819.619.519.319.113.710.68.46
9、.06.03.21.61.01.11.00.80.90.80.36.022.322.622.722.823.123.323.423.423.524.224.124.124.023.022.5221.120.219.619.819.819.719.820.020.120.320.420.520.019.619.6118.24.32.12.21.40.60.50.3-0.2-0.10.00.70.45.022.122.622.923.023.123.523.623.423.623.824.024.224.023.022.5321.020.420.020.120.019.519.519.820.22
10、0.420.620.720.820.019.87.46.13.61.81.81.40.70.60.40.10.10.10.91.36.02222.823.023.123.223.423.824.024.024.023.923.823.723.422.6420.520.320.020.220.520.620.620.420.420.520.620.820.720.520.64.94.23.01.61.41.21.00.80.80.30.50.61.45.06.222.223.023.223.323.423.623.823.923.924.024.124.224.023.022.4519.820.
11、020.120.320.420.720.921.020.920.820.820.720.320.320.93.63.53.02.01.51.11.00.90.60.60.97.18.38.97.9523.02423.323.123.523.423.323.223.123.022.922.822.722.522.2619.319.520.220.320.620.821.020.820.620.420.220.019.619.420.22.82.62.01.51.41.21.21.10.80.71.24.18.010.211.122.824.524.023.023.022.422.322.222.
12、122.122.222.222.322.222.3718.819.020.220.320.720.921.020.620.420.019.419.219.018.718.91.00.80.70.71.21.21.52.32.43.07.010.214.014.714.724.325.024.023.022.321.521.020.922.022.221.922.122.022.022.1818.619.520.120.220.621.021.220.919.819.218.618.918.818.317.70.10.90.91.21.31.31.52.74.76.07.38.59.911.412.9再根据上述所给的表格，利用matalab软件分别作出地表高度、沙层顶部高度、 沙层底部高度的等高线图（matlab数据程序见附录）插值后的地表高度结果见 图 5-1：图5-1地表等高线插值后的沙层顶部高度结果见图5-2：图5-2顶部等高线插值后的沙层底部高度结果见图5-3：图5-3底
