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1、11.1.6祖暅原理与几何体的体积课后篇巩固提升基础巩固1.若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径,则圆锥、圆柱、球的体积之比为()A.134B.132C.124D.142解析设球的半径为R,则V圆锥=13R22R=23R3,V圆柱=R22R=2R3,V球=43R3.所以V圆锥V圆柱V球=23243=132.故选B.答案B2.正方体的内切球的体积为36,则此正方体的表面积是()A.216B.72C.108D.648答案A3.长方体三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积是()A.63B.36C.11D.12解析设长方体长、宽、高分别为a,b,c,则ab=2,ac=6,bc=9,
2、相乘得(abc)2=108,V=abc=63.答案A4.圆台的体积为7,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为()A.3B.4C.5D.6解析由题意,V=13(+2+4)h=7,h=3.答案A5.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为()A.1B.12C.32D.34解析设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径r,高都为h,由已知得2Rh=rh,r=2R.故V柱V锥=R2h13r2h=34.故选D.答案D6.若两球的体积之和是12,经过两球球心的截面圆周长之和为6,则两球的半径之差为()A.1B.2C.3D.4解析设两球的半径分别为R、r(Rr),则由题意得43R3
3、+43r3=12,2R+2r=6,解得R=2,r=1.故R-r=1.故选A.答案A7.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=22,则下列结论正确的是()A.AC平面BEFB.AE,BF始终在同一个平面内C.EF平面ABCDD.三棱锥A-BEF的体积为定值解析由AC平面BB1D1D,即AC平面BEF,A对;EFBD,BD面ABCD,EF面ABCD,得EF平面ABCD,C对;SBEF=12221=24,设AC,BD交于点O,AO平面BB1D1D,AO=22VA-BEF=132422=112,D对;B,E,F同在平面BB1D1D上,而A不在
4、平面BB1D1D上,AE,BF不在同一个平面内,B错误.故选ACD.答案ACD8.已知圆锥SO的高为4,体积为4,则底面半径r=.解析设底面半径为r,则13r24=4,解得r=3,即底面半径为3.答案39.已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等,则球O的半径为.解析设球O的半径为r,则43r3=23,解得r=36.答案3610.一个正方体的八个顶点都在体积为43的球面上,则正方体的表面积为.解析由43R3=43,得R=1.设正方体的棱长为a,则3a=2R,所以a=23,故正方体的表面积S表=6a2=6232=8.答案811.将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中,钢球全部没入水中
5、,水面升高4 cm,则钢球的半径是.解析圆柱形玻璃容器中水面升高4cm,则钢球的体积为V=324=36,即有43R3=36,所以R=3cm.答案3 cm12.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm3),每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,空心部分也为球心相同的球.请你计算出它的内径(取3.14,结果精确到1 cm,2.24311.240 98).解由于外径为50cm的钢球的质量为7.9435023516792(g),街心花园中钢球的质量为145000g,而145000V乙且S甲S乙B.V甲V乙且S甲S乙D.V甲=V
6、乙且S甲=S乙解析计算得V甲=16a3,S甲=4a2,V乙=16a3,S乙=a2,V甲=V乙,且S甲S乙.故选C.答案C5.两个球的表面积之差为48,它们的大圆周长之和为12,则这两个球的半径之差为.解析由题意设两球半径分别为R、r(Rr),则4R2-4r2=48,2R+2r=12,即R-r2=12,R+r=6.所以R-r=2.答案26.如图,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图水平放置时,液面高度为28 cm,则这个几何体的总高度为 cm.解析设半径为1cm和半径为3c
7、m的两个圆柱的高分别为h1cm和h2cm,则由题意知32h2+12(20-h2)=12h1+32(28-h1),整理得8(h1+h2)=232,所以h1+h2=29.答案297.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化公路上的积雪之用),已建仓库的底面直径为12 m,高4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积和表面积.(2)哪个方案更经济?解(1)方案一中仓库的底面直径变成16m,半径r1为8m,高h1为4m,则圆锥的母线长l1=45m,所
8、以仓库的体积V1=13r12h1=2563(m3).表面积S1=r1l1=325(m2).方案二中仓库的高h2变成8m,半径r2为6m,则圆锥的母线长为l2=10m.所以仓库的体积V2=13r22h2=2883(m3)=96(m3),表面积S2=r2l2=60(m2).(2)因为V2V1,S2S1,故方案二比方案一更经济.8.如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少 cm3(结果精确到0.1)?(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?解(1)因
9、为半球的直径是6cm,可得半径R=3cm,所以两个半球的体积之和为V球=43R3=4327=36(cm3).又圆柱筒的体积为V圆柱=R2h=92=18(cm3).所以这种“浮球”的体积是V=V球+V圆柱=36+18=54169.6(cm3).(2)根据题意,上下两个半球的表面积是S球表=4R2=49=36(cm2),又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧=2Rh=232=12(cm2),所以1个“浮球”的表面积为S=36+12104=48104(m2).因此,2500个这样的“浮球”表面积的和为2500S=250048104=12(m2).因为每平方米需要涂胶100克,所以共需要胶的质量为10012=1200(克).
