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1、北京大学量子信息物理原理课程讲稿(IV)第二章量子双态体系前 言两能级体系，更一般说，量子双态体系，是Hilbert space为 2 维的量子体系。其实，只需要在我们感兴趣的物理过程所涉及的能区或量子数范围内，有两个足够稳定（它们的半衰期很长于每次工作的时间）的不同状态，而体系的其余能级或状态在物理过程中对这两个状态的影响可以忽略，就可以将其看作是个双量子态体系，简称为双态体系。这里并不一定需要顾及体系到底有多少能级，或是其余的那些量子态。这类双态体系又称做“量子位 ”（quantum bit=qubit）。两个态一般记作0 态和 1 态。目前正处于迅速崛起中的量子通讯领域里，有关量子信息存
2、储、操控、传递等所有过程都会用到这类双态体系。所以它们在量子信息论的广阔领域中显得尤其重要。最简单的例子就是：其一，两类相互垂直的极化光子。比如光子处于垂直极化状态称作 0 态，而水平极化状态称作1 态；其二，两种自旋状态的电子。比如可定义：100 ，11。11220本章集中讲述这类双态体系的有关基本物理问题。包括对它们量子状态和特征量描述、状态演化、测量影响等等。至于对混态的更多叙述、以及关于多体量子系综、量子纠缠与可分离、多位量子存储器、逻辑门的运行和操控、量子计算、退相干等等问题，则在下面各讲中40分别讲述。2.1, 单粒子双态体系的定态描述1, 单粒子双态体系的纯态与混态两能级体系，普
3、遍一些的提法是双态体系，其纯态一般为2c12(2.1a)a qubit c0 0 c1 1 ; c01对自旋 1 体系，状态一般为下面形式：2e i2 cose i 2 cos1ei 2 sin0222ei2 sin2U ezn,z,;e i 2 sin1ei 2 cose i 2 sin2（2.1b）022ei 2 cos2U ezn,z,;这里是在 2 维自旋空间中将转向方向的转动：（2.1c）对于两维态空间的光子，与电子情况有两点不同。其一，无静质量；其二，自旋为 1 是玻色子，其表示不是某个简单旋量。但作为 2 维数学运算，表面形式是类似的。设光子两个极化状态基矢为：水平极化态 x 0
4、0，垂直极化态 y 11。对沿 Z 轴前进的光子，10将其极化状态在 X-Y 面内转角的转动变换为41cossiniy（2.2a）sinecos再加上对两个基的相对相移变换（2.2b）这两种变换联合使用即可对光子极化状态施加任何22 幺正变换（2.2c）其实，广泛而言，一个光子通过一个半透片后，是反射还是透射，也是两种状态的相干叠加， 构成关于哪个出口空间模的二维状态空间1。注意，依此类推，可以用实验手段引入粒子的新自由度。虽然无论纯态或混态都可以用密度矩阵描述，但混态必需，而纯态并不必需用密度矩阵A 描述。一般而言，单粒子A 任意混态密度矩阵 A 为（2.3）（2.3）式的含义是： A 处在
5、iA 的概率为 pi ，, 。注意：i，这些态之间的相对相位不定，彼此不相干涉；ii，iA 之间不一定相互正交。A 有如下性质：i) Aq11q10是厄密的 A Aq01q00ii)A 本征值是非负的。于是对任何态A 有AAA0iii)迹为 1： Tr A1 。纯态 Tr21 ，混态 Tr2AA(2.4a)(2.4b)1 (2.4c)这里，对角元素是正数，非对角元素可以是复数。并且有42（2.4d）此处有 3 个独立实参数，用于决定任一混态。纯态密度矩阵是该纯态的并矢 , 于是 q01 c0c12q10 ; q01q00q11 ，（2.4d）中第二式的等号成立，最多只含 2 个独立实参数 (
6、不计绝对相位 ) 。2, 纯态极化矢量、混态 Bloch 矢量 与 Bloch 球描述双态体系的状态变换有4 个算符：P00 000; P11 110;1 0010001000;0 1001注意这里的1iy 。显然，三个 Pauli 矩阵 i 加上0 可以构成x2一组矩阵基，用于展开任何22 矩阵。于是单个双态体系的混态密度矩阵可以展开为：q00 0 0 q11 1 1 q01 0 1 q10 1 0q00 P0q11 P1q01q10（2.5）11nznxiny1 1nnxiny1nz22可以检验n nxq10，1q01，q11q00，对纯态为单位q01nyiq10nz矢量,并等于极化矢量
7、nP。比如对（）两个态,1bP,n ,（2.6）应当指出：由于量子测量过程中塌缩的随机性，即使对这两个纯态的多个样品沿 Z 轴进行多次测量，也只能决定两个系数的模值，仍然不能决定态的内部相因子（这完全不同于经典方程式，几个变数就用几次独立测量来确定）。实验测定一个自旋纯态等价于确定其极化矢量，测定这个单位矢量的两个方位角 。43Bloch球描述方法 。引入单位半径的圆球，于是上面叙述说明纯态对应单位球面上一点，模长为1 的矢径正是该纯态的极化矢量。但 Bloch球方法更重要的用途在于描述双态体系的混态。就单个 qubit而言，任一混态不过是两个两分量自旋态按一定概率的非相干混合，其密度矩阵是一
8、个迹为 1 的本征值非负的厄密矩阵。这种混态密度矩阵 总可以表示为（2.8）对于混态 , 矢量称作 Bloch矢量 , 其模长小于 1：（2.9）这是因为 ,设本征值为1 , 2 ，则有 Tr121, det12 。行列式非负要求导致混态 Bloch 矢量模长小于 1。因此，单个 qubit 任何混态必对应单位球内某一点。说明在 qubit 随时间演化的退相干过程中，由某个纯态转为混态时，相应的 Bloch矢量将从球面上某点因径长缩小而进入球内（在某些特殊的退相干过程中，矢径最终会转到球面上某一特定点体系的稳定基态， 是个纯态）。Bloch球心是一个不含任何信息的完全随机的混态垃圾态：（2.1
9、0）443，可观察量与测量它们是自伴算符（ self-adjoint operators）： ? 。对 2 维体系的任一可观察量? 总可以写为? I?IP0P1?P0P11110， iji ? j（2.11）0100采用 4 个矩阵基，将?展开为?13i i ;i Tr?i（2.12）2 i0按测量公设，对于给定的?1,21,2 ，和它的两个本征态1,2当态为时，可得 :单次测量 ：得本征值i 的概率为 piii。若测量是一次过滤性的测量，测后即塌缩向态i。投影测量 ：任何投影 ? ?2? 都可以看做测量，P PP结果为 1：测后的态为?；PPTr PP结果为 0：测后的态为1?1?；PPTr
10、 1 P1 P多次测量 ：若制备大量同一态，多次重复测量? ，即得期望值，极限即为平均值?Tr?。2.2，双态体系的幺正演化，举例1，双态动力学演化单纯双态体系动力学 3中有所叙述，但叙述未突出耦合场性质，而且未能概括丰富的各种广义双态体系，也不切合现在量子信息论的实用。下面两节将以建立普适理论的方式，从理论上全面解决这一问题。这里先作简单叙述。设体系Ht 的初态为0，则45（2.13）如果初始为混态，更方便的是使用Liouville 方程（2.14）按（ 2.12）式可将 Hamiltonian H t 分解为：（2.15a）这里。多数情况下体系Hamiltonian 并不依赖于时间，问题很容易精确求解。略去常数项（将其归入本征值中）后，（2.15b）这里是单位矢量。时间演化算符为（2.16a）至此已经容易进行各种计算了。比如有
