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1、 第1讲 小数的巧算与速算 【 例1】. 简算：1思路导航：题中，9.9接近10，且6.8和0.68都是有6、8这两个数字。解法一： 解法二: =99=(99+1) 0.68 =( =68 =68想想还有别的解法吗? 同步导练一：1(3)7.240.1+0.572.4+0.049724 46.490.22+2580.0649+5.36.【例2】：2+0.48+0.82(0.48+0.82+0.56)-(2+0.48+0.82+0.56) (0.48+0.82) 思路导航：整个式子是乘积之差的形式,它们构成很有规律,如果把2+0.48+0.82 用A表示,把0.48+0.82用B表示,那么原式化
2、为A(B+0.56)-(A+0.56) B,再利用乘法分配律计算,大大简化了计算过程.解: 设A=2+0.48+0.82 B=0.48+0.82,6) B =AB+A0.56-(AB+0.56B) = AB+A0.56- AB-0.56B(A-B)=0.562 同步导练二：1(3.7+4.8+5.9) (4.8+5.9+7)-(3.7+4.8+5.9+7) (4.8+5.9)(2) (4.6+4.8+7.1) (4.8+6)-( +4.8+6) (4.8+) 【例三】:计算76.85614 思路导航：这道题是乘除同级运算，解答时，利用添括号法那么，在“后面添括号，括号里面要变号，“变“，“变“
3、。不过，同学们请注意，这种方法只适用于乘、除同级运算。 解: 76.85614 =76.8(5614) =76.84同步导练三：(1) 14415.613 (2) (3) 【 例四】: 0.9990.7+0.1113.7 思路导航：本类题可以将原式进行合理的等值变形后，再运用适当的方法进行简便运算 =0.111(6.3+3.7) =0.11110同步导练四:(1) (3) 0.8880.9+0.2226.4 (4)5. 下面有两个小数: a=0.000125 b=0.0008 1996个0 2000个0 试求a+b, a-b, ab, ab.第2讲 用等量代换求面积一个量可以用它的等量来代替；
4、被减数和减数都增加或减少同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。例1两个相同的直角三角形如以下图所示单位：厘米重叠在一起，求阴影局部的面积。分析与解：阴影局部是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影局部与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影局部的面积就转化为求直角梯形O
5、EFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7厘米，面积为7+1022=17厘米2。所以，阴影局部的面积是17厘米2。 例2 在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。阴影局部的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。分析与解：因为阴影局部比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于1082+10=50厘米2。例3 在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形
6、AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。例4 下页上图中，ABCD是74的长方形，DEFG是102的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。分析：直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图
7、形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。解法一：连结B，E见左以下图。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，那么原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为410-72-210-72=3。解法二：连结C，F见右上图。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，那么原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为410-72-210-72=3。解法三：延长BC交GF于H见下页左上图。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，那么原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为4+210-72-210-7=3。解法
8、四：延长AB，FE交于H见右上图。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，那么原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为410-7-10-74+22=3。例5左以下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积分析与解：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上此题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD见右上图，可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共局部，所以去掉这个公共局部，根据差不变性质，剩下的两个局部，即三角形ABF与
9、三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于442=8厘米2。练习： 1.左以下图单位：厘米是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影局部的面积。2.下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。 6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。影局部的面积和。 第3讲 逻辑问题从广义上说，任何一道数学题，任何一个思维过程，都需要逻辑分析、判断和推理。我们这里所说的逻辑问题，是指那些主要不是通过计算，而是通过逻辑分析、判断和推理，得出正确结论的
10、问题。逻辑推理必须遵守四条根本规律：1同一律。在同一推理过程中，每个概念的含义，每个判断都应从始至终保持一致，不能改变。2矛盾律。在同一推理过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断，至少有一个是错误的。例如，“这个数大于8和“这个数小于5是两个互相矛盾的判断，其中至少有一个是错的，甚至两个都是错的。3排中律。在同一推理过程中，对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的，它们不能同时都错。例如“这个数大于8和“这个数不大于8是两个恰好相反的判断，其中必有一个是对的，一个是错的。4理由充足律。在一个推理过程中，要确认某一判断是对的或不对的，必须有充足的理由。我们在日常生活和学习中，在思考、分析问题
11、时，都自觉或不自觉地使用着上面的规那么，只是没有加以总结。例如假设法，根据假设推出与条件矛盾，从而否认假设，就是利用了矛盾律。在列表法中，对同一事件“与“只有一个成立，就是利用了排中律。例1 张聪、王仁、陈来三位老师担任五2班的语文、数学、英语、音乐、美术、体育六门课的教学，每人教两门。现知道：1英语老师和数学老师是邻居；2王仁年纪最小；3张聪喜欢和体育老师、数学老师来往；4体育老师比语文老师年龄大；5王仁、语文老师、音乐老师三人经常一起做操。请判断各人分别教的是哪两门课程。分析与解：题中给出的条件较复杂，我们用列表法求解。先设计出以下图的表格，表内用“表示肯定，用“表示否认。因为题目说“每人
12、教两门，所以每一横行都应有2个“；因为每门课只有一人教，所以每一竖列都只有1个“，其余均为“。 由3知，张聪不是体育、数学老师；由5知，王仁不是语文、音乐老师；由24知，王仁不是体育老师，推知陈来是体育老师。至此，得到右上表 由3知，体育老师与数学老师不是一个人，即陈来不是数学老师，推知王仁是数学老师；由1知，数学老师王仁不是英语老师，推知王仁是美术老师。至此，得到左下表。由4知，体育老师陈来与语文老师不是一个人，即陈来不是语文老师，推知张聪是语文老师；由5知，语文老师张聪不是音乐老师，推知陈来是音乐老师；最后得到张聪是英语老师，见右上表。所以，张聪教语文、英语，王仁教数学、美术，陈来教音乐、
13、体育。以上推理过程中，除充分利用条件外，还将前面已经推出的正确结果作为后面推理的条件，充分加以利用。另外，还充分利用了表格中每行只有两个“，每列只有一个“，其余都是“这个隐含条件。例1的推理方法是不断排斥不可能的情况，选取符合条件的结论，这种方法叫做排他法。例2 小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道：1小明不在一小；2小芳不在二小；3爱好乒乓球的不在三小；4爱好游泳的在一小；5爱好游泳的不是小芳。问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？分析与解：这道题比例1复杂，因为要判断人、学校和爱好三个内容。与四年级第26讲例4类似，先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示：因为各表中，每行每列只能有一个“，所以表3可补全为表4。由表4、表2知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不在一小。于是可将表1补全为表5。对照表5和表4，得到：小明在二小上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小花在一小上学，爱好游泳。例1、例2用列表法求解。下面，我们用分析推
