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1、-圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储藏：1. 直线方程的形式1直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。2与直线相关的重要容倾斜角与斜率点到直线的距离夹角公式：直线夹角为，则3弦长公式直线上两点间的距离4两条直线的位置关系=-1 或者两平行线距离公式距离距离2、圆锥曲线方程及性质1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值与|FF|不可无视。假设|FF|，
2、则轨迹是以F，F为端点的两条射线，假设|FF|，则轨迹不存在。假设去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程表示的曲线是_答：双曲线的左支2.圆锥曲线的标准方程标准方程是指中心顶点在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程：1椭圆：焦点在轴上时，焦点在轴上时1。方程表示椭圆的充要条件是什么.ABC0，且A，B，C同号，AB。椭圆的方程的形式有几种.三种形式标准方程：距离式方程：参数方程：假设，且，则的最大值是_，的最小值是_答：2双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：1。方程表示双曲线的充要条件是什么.ABC0，且A，B异号。如设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，
3、则C的方程为_答：3抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。3.圆锥曲线焦点位置的判断首先化成标准方程，然后再判断：1椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值围是_答：2双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；3抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。4.圆锥曲线的几何性质：1椭圆以为例：围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心0,0，四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；准线：两条准线；离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。如1
4、假设椭圆的离心率，则的值是_答：3或；2以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_答：2双曲线以为例：围：或；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心0,0，两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线；离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；两条渐近线：。双曲线的方程的形式有两种标准方程：距离式方程：3抛物线以为例：围：；焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点0,0；准线：一条准线；离心率：，抛物
5、线。如设，则抛物线的焦点坐标为_答：；5、点和椭圆的关系：1点在椭圆外；2点在椭圆上1；3点在椭圆6.记住焦半径公式：1，可简记为“左加右减，上加下减。237.椭圆和双曲线的根本量三角形你清楚吗.第二、方法储藏1、点差法中点弦问题设、，为椭圆的弦中点则有，；两式相减得=2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗.经典套路是什么.如果有两个参数怎么办.设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元，假设有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一
6、个，比方直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。假设有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。例1、三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点点A在y轴正半轴上.1假设三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;2假设角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为可得出ABAC，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；解：1设B,C(,),BC中点为(),F(2,0)则有两式作差有
7、(1)F(2,0)为三角形重心，所以由，得，由得，代入1得直线BC的方程为2)由ABAC得2设直线BC方程为，得，代入2式得，解得或直线过定点0，设D*,y，则，即所以所求点D的轨迹方程是。4、设而不求法例2、如图，梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值围。分析：本小题主要考察坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系，如图，假设设C，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,建立目标函数，整理,化
8、繁为简.解法一：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得，设双曲线的方程为，则离心率由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得，由式得，将式代入式，整理得，故由题设得，解得所以双曲线的离心率的取值围为分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式, 用的横坐标表示，回避的计算, 到达设而不求的解题策略解法二：建系同解法一，又，代入整理，由题设得，解得所以双曲线的离心率的取值围为5、判别式法例3双曲线，直线过点，斜率
9、为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：把直线l的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式直线l在l的上方且到直线l的距离为解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：转化为一元
10、二次方程根的问题求解问题关于*的方程有唯一解简解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为：于是，问题即可转化为如上关于的方程.由于，所以，从而有于是关于的方程由可知：方程的二根同正，故恒成立，于是等价于.由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得.点评：上述解法紧扣解题目标，不断进展问题转换，充分表达了全局观念与整体思维的优越性.例4椭圆C:和点P4，1，过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想
11、方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可到达解题的目的.由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来.一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开场解题，但对于如何解决此题，已经做到心中有数. 将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理利用点Q满足直线AB的方程：y = k (*4)+1，消去参数k点Q的轨迹方程在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是
12、得到关于的方程不含k，则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设，则由可得：，解之得：1设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于 *的一元二次方程：2代入1，化简得： (3)与联立，消去得：在2中，由，解得，结合3可求得故知点Q的轨迹方程为：.点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.6、求根公式法例5设直线过点P0，3，和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值围.分析：此题中，绝
13、大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于*个或*几个参数的函数关系式或方程，这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.分析1:从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的围不好控制，所以自然想到利用第3个变量直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范围把直线l的方程y = k*+3代入椭圆方程，消去y得到关于*的一元二次方程*A=
14、 fk，*B = gk得到所求量关于k的函数关系式求根公式AP/PB = *A / *B由判别式得出k的取值范围简解1：当直线垂直于*轴时，可求得;当与*轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得解之得因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以=.由, 解得，所以，综上.分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但此题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.把直线l的方程y = k*+3代入椭圆方程，消去y得到关于*的一元二次方程*A+ *B = fk，*A *B = gk构造所求量与k的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB = *A / *B由判别式得出k的取值范围简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得*则
