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1、第五章 空间解析几何一、学习要点：1.理解空间向量的有关概念，掌握空间向量的坐标表示，单位向量，方向余弦；2.熟练掌握空间向量的线性运算，数量积、向量积的坐标运算法；3.熟练掌握空间向量平行、垂直的充要条件及判定；4.掌握平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程；5.知道空间一点到平面的距离公式；6.掌握直线的对称式、参数式、一般式方程及其求方程的方法7.会判定直线和平面的位置关系(垂直、平行、直线在平面上)；8.了解母线平行于坐标轴的柱面，旋转抛物面，圆锥面，椭球面方程及图形.二、相关知识总结：1.空间直角坐标系的建立及其空间点的直角坐标.2.空间直角坐标系中任意两点间的距离公式： .3.空
2、间向量的有关概念及向量的坐标表示.4.空间向量的线性运算及利用坐标进行向量的线性运算.5.空间向量模的坐标表示：设向量，其模，向量的单位向量：.6.向量的数量积：对于给定的向量，数称为向量和的数量积，记作.7.向量的向量积：两个向量和的向量积是一个向量，记作，它的模和方向分别定义为：（1）；（2）垂直于和，且，成右手系. 8.数量积、向量积的坐标运算法：设，则，.9.两向量垂直、平行的条件及判定：（1）两向量与的对应坐标成比例；（2）两向量.10.方向余弦、向量投影的坐标表达式及有关计算：设，则向量的方向余弦：，且 .投影公式：.11.空间曲线的一般方程：.12.空间曲线的参数方程：（为参数）
3、.13.空间曲线在坐标平面内的投影： - 消去得，则是曲线在坐标面面上投影.同理，和是曲线分别在面和面上的投影.14.平面的点法式方程：是平面的一点， 是该平面的法向量,则此平面的方程为: .15.平面的一般式方程： （，不能同时为）.16.平面外一点到平面的距离的公式：则有：.17.平面和平面的夹角为： （） 的法向量和的法向量则有：.18.直线的一般式、对称式、参数式方程及其求方程的方法.一般式 ，对称式 ， 参数式 （为参数），三种方程形式的相互转化.19.两直线垂直、平行的充分条件及其夹角公式：设直线和直线的方向向量依次为：，若两直线垂直有：；若两直线平行有：；若两直线相交有：，.20
4、.空间直线与平面的位置关系：设直线的方向向量，平面的法向量，直线与平面垂直有：； 直线与平面平行有：；直线与平面的夹角（）由下列公式给出：.三、重点例题剖析（一）基础题1.一向量与轴正向，轴正向的夹角相等与轴正向的夹角是前者的两倍，求与向量同方向的单位向量【分析】与向量同方向的单位向量就是以向量的方向余弦为坐标的向量故问题求解的关键在于求出向量的方向余弦 解设向量与轴正向、轴正向的夹角为，则它与轴的正向夹角为，那么，的方向余弦分别是，故即由此得到或又，或，则，或，因此，所求的单位向量为或2.设，求对应的单位向量及的方向余弦解与对应的单位向量是与方向相同的单位向量因此同上，可求出与方向相同的单位
5、向量：从而，的方向余弦为：，3.设未知向量与共线，且满足，求解（方法1）由于与共线，故设故(方法2)由于与共线，故可设,则故4.已知向量，满足,证明：.证，5.已知三角形三个顶点坐标是，求的面积【分析】以向量，为邻边的三角形的面积解由向量积的定义，可知的面积为：由于，因此6.指出下列二次曲面的名称，并作草图(1)； (2)；(3)；(4)【分析】对已给出的二次曲面方程，要求判断曲面性质的题型，应先进行简化运算将方程转化成常见的曲面方程形式，然后再进行判断解(1)可以将方程写成如下的标准形式：该方程表示单叶双曲面，其草图如图5-1；图5-1(2)方程可写成如下的标准形式：该方程表示双叶双曲面，其
6、草图如图5-2；图5-2(3)方程可写成如下的标准形式：该方程表示椭圆抛物面，其草图如图5-3；图5-3(4)方程可写成如下的标准形式：该方程表示椭圆锥面，它是由标准椭圆锥面的图形平移到使锥面的顶点为时得到的其草图如图5-；图5-7.一动点到平面的距离等于它与轴距离的两倍，又点到的距离为，求动点的轨迹方程解设点的坐标为，则到平面的距离为到轴的距离为，由题设条件，有，即，又到的距离为l， 即 动点的轨迹方程满足：注此类问题常用到距离公式及向量代数的工具由所给条件确定动点的坐标所满足的约束方程，如方程是一个，则轨迹为曲面；如方程有两个，则轨迹为曲线另外，也可以设定参数求动点的轨迹方程若参数有两个，
7、则轨迹为曲面；若参数只有一个，则轨迹是曲线8.求二次曲面与三个坐标平面的交线解求解空间曲面与坐标平面的交线，只须将已知曲面方程与坐标平面方程联立此二次曲面为双曲抛物面，它与面的交线为，即这是面上的抛物线曲面与面的交线为，即这说明曲面与面的交线是面上的两条相交直线和曲面与面的交线为，即这是面上的抛物线9.一平面与原点的距离为 ，且在三坐标轴上的截距之比，求该平面方程 解因为截距之比为，故可设截距，则平面方程可设为 此平面与原点的距离：解得 ，则所求平面的方程为： 即 10.设直线过点，并且与直线：相交，与直线：垂直，试求直线的方程解直线的方向向量为，过以为法向量的平面方程为：由题意知，所求直线在
8、平面上因直线与直线相交，故与平面也相交，我们可求出与的交点将转化为参数式，代入平面方程，得故交点的坐标为由于直线过和两点，其方向向量与平行，可选择所以，直线的方程为11.判定下列各组平面与直线间的位置关系：（1）：与：（2）：与：解 （1）的方向向量，的法向量因为所以将直线上的定点，代入平面方程不满足，即点不在平面上，因此直线平行于平面但不在平面上 （2）的方向向量，的法向量，因为，且所以与既不平行也不垂直，故与斜交 （二）提高题1.设空间四边形各边的中点依次为、证明：（1）四边形是平行四边形；（2）四边形的周长等于四边形的两对角线的长度之和证设在四边形中，、为两条对角线（1）在中，由中位线定
9、理知，同理， 即 且故是平行四边形（2）分别在及中应用中位线定理，得同理，即四边形的周长等于四边形的两条对角线的长度之和2.已知,求一单位向量,使,且与，共面解设所求向量,依题意,有 即 由知， 即 ，由与,共面知，以上三式联立，解得,或 ,3.设,，问取何值时，最小？并证明：当最小时，解当时，最小此时4.试用向量方法证明正弦定理：【分析】由于正弦定理涉及到三角形的边与它们的夹角，并且是夹角的正弦，这使我们容易想到涉及正弦运算的向量积证在中，两边取向量的模，有由此得到同理可得故在中，有5.根据，的不同取值情况，说明二次曲面的类型解(1)当时，是抛物柱面(2)当，时，若，是椭圆抛物面；若，是双曲
10、抛物面(3)当，时，若，则方程可化为是椭圆柱面；若，则方程可化为是双曲柱面(4)当时，若，方程可化为是椭球面；若，方程可化为是单叶双曲面；若，方程可化为是双叶双曲面；若，方程可化为是单叶双曲面6.试求到球面：与：的距离之比为的点的轨迹，并指出曲面的类型解 设所求的动点坐标为，点到的球心的距离为，点到的球心的距离为：，则点到的球面距离为，点到的球面距离为由已知，得两边平方，得化简，得这是一个球面方程7.求直线绕轴旋转而成的曲面的方程，并按的值讨论它是什么曲面【分析】此类问题，应先将所给的曲线方程化为参数方程，再根据旋转轴来求解解 直线的参数方程为，绕轴旋转而成的曲面的方程为，消去，得当，时，为圆
11、柱面；当，时，为圆锥面；当，时，为旋转单叶双曲面8.求曲线：在三个坐标平面上的投影曲线方程【分析】从空间曲线的方程中分别消去，即可得曲线在三个坐标面上的投影柱面方程再与坐标面方程联立方程组，即得投影曲线方程解在中，消去，得这是曲线向平面的投影柱面此投影柱面与面的交线即为曲线在面上的投影曲线，故即为所求同理，消去可得曲线向面的投影曲线消去可得曲线向面的投影曲线9.求与平面平行，而使点与这两平面的距离相等的平面方程 解由题意，所求平面方程可设为由点到这两个平面的距离相等，即得 所以 或从而所求平面的方程为：（与已知平面重合）或.10求通过直线且与平面：成角的平面方程.解设过直线的平面束方程为整理得
12、：在平面束中确定所求平面，使其与已知平面成角，故所以 故所求平面为值得注意的是，平面束中未包含平面，此平面与已知平面的夹角为因此，该平面与的夹角，亦为所求所以，所求平面为和11.设平面方程为，证明：（1）（其中为原点到平面的距离）；（2）平面被三坐标面所截得的三角形面积为证（1）平面的一般式为：，所以，原点到平面的距离为从而 （2）方法1 平面与轴、轴、轴的交点分别为：，则，所以 方法2 平面与三坐标面所围的体积为所以12.求过点，且与两个平面，都平行的直线方程，其中：，：解设直线的方向向量为，根据题设条件知，与和的法向量都垂直，可取所求直线方程为13.求与已知直线：和：都相交，且与：平行的直
13、线方程分析：所求直线的方向向量为，只要在上找到一个定点，即可使问题获解.最好选择与或的交点解将和化为参数方程： ：设与和的交点分别对应参数和，则知交点分别为，由于，故整理成方程组，解得所以，的坐标为故所求直线方程为：14.设矩阵是满秩的，则直线 （ ）A.相交于一点 B.重合 C.平行但不重合 D.异面【分析】记，由于矩阵满秩，所以、 、三点不共线第一条直线过点且平行于，第二条直线过点且平行于，故两条直线相交所以，正确答案为（A）15.求两条直线：，：的公垂线方程【分析】 公垂线既在由与确定的平面上，又在由与确定的平面上，因此和的交线即为公垂线解为求的平面方程，可在上选取一个定点，如，至于的法向量可作如下考虑：若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则公垂线方向为，那么，由与所确定的平面，其法向量为所以的方程为：即 同理，在上选取一个定点，又的法向量为从而得平面的方程为故所求公垂线的方程为16.求直线：在平面：上的投影直线的方程，并确定绕轴旋转一周的旋转面方程解首先求出在平面上的投影直线，位于过且与垂直的平面上的法向量与的法向量垂直，且与的方向向量垂直，故所以的方程为，即由于位于平面上，因此得其一般式方程下面求直线绕轴旋转的旋转曲面方程，将化为
