《第一轮饭堂人流问题的建模与优化》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一轮饭堂人流问题的建模与优化（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、饭堂人流问题的建模与优化组号：31组员：吴晓凡 苏顺贞 李俊良目录一. 摘要2二. 问题重述3三. 模型假设3四. 符号说明4五. 建立模型4六. 模型的评价与改进方向22七. 对于食堂管理方案的建议23八参考文献24九.附录24一. 摘要汉书郦食其传有云：民以食为天。良好的就餐环境是学生良好的校园 生活保障。本文就以第二饭堂（即三楼为教师餐厅的那个饭堂）随时间变化的人 流问题进行研究，展开讨论，分析和建立数学模型，利用数学软件进行求解。 建立人员流动结构程序图，确定打饭区人数、就餐区人数与寻找座位人数的关系。对于问题一，先分析出顾客数和顾客到达的平均时间间隔为泊松分布和指数 分布；然后分析存
2、在气比例的已买饭人者需花费时间来寻找座位，根据有效座位 的三种情况，设存在不同时间段平均作为偏好量为气，确定有效座位、时间、 人数的关系式，得出寻找座位人数；最后设定就餐时间为10分钟，确定总输出 量。再根据打饭区的人数和就餐区的人数满足的条件，假设4人、3人、2人、1 人前去就餐概率分别是0.2、0.4、0.3、0.1，并将其分别看成一部“车”前去 就餐，再假设前往二饭的人数，窗口数量，有效时间，服务能力，利用matlab 进行演算。对于问题二，假设排队系统为M /M /s/8模型,考虑系统到达平稳状态下， 利用“流入=流出”原理，推导出概率分布，且由假设条件算出空闲概率为2.7% （s=1
3、0）。确定出平均排队长80，平均队长为87学生平均排队时间为3.48分钟， 学生平均等待时间为3.73分钟。对于问题三，根据人员流动结构流程图已知就餐区人数即已买饭者人数满足 的条件，并由问题一的有效座位量，推导出人均作为占有量。对于问题四，确立“等待时长”为指标，基于matlab图像建立，窗口始值 为8个，通过增加窗口数量至16个、分流时间点分别为11点30与11点40、 综合分流前提下增加窗口数量得到了改进模型，又对由窗口数量引起的人力成本 分析，结果为分流和增加窗口数量可以使人力成本减少，等待时间减少，效率提 高。关键词人员流动结构流程图M /M /s/8模型matlab优化指标二. 问
4、题重述以第二饭堂（即三楼为教师餐厅的那个饭堂）为例，建立数学模型，研究三 水校区饭堂午餐时段的人流问题。问题一：建立饭堂内人数随时间变化的数学模型；问题二：建立买饭排队时长随时间变化的数学模型；问题三：建立已买饭者人均座位占有量随时间变化的数学模型；问题四：在本题的语境下，提出一个衡量饭堂状况合理程度的指标，并计算 当前情况下的指标值；且通过选择合理的措施，给出具体的方案和计算结果，使 指标值提高。三. 模型假设1、饭堂每个窗口对于不同的服务对象的服务时间相同，且这些窗口的服务时间 彼此也是相同的。2、饭堂实行FCFS（先到先服务）原则，且学生可自由在队列间进行转移，并总 向较短的队进行转移。
5、3、每个窗口对学生来说都是一样的，服务时间相互独立4、本文主要研究饭堂高峰期饭堂内部变化，假设下课时间为11:40，近的校区 走到饭堂需要10分钟，远的校区走到饭堂需要20分钟，假设有4000人选择来二饭 吃饭，因此大家走路的区间为10,20，即大部分同学到达的时间为： 11:50-12:00，因此会产生极为严重的排队问题，而在其他高峰期，其人流量是 因为少数没有课的同学或者有事晚到的同学所导致，数量较少因此不予仿真讨论5、由于缺乏实际数据，本文中结伴而行吃饭的人数及概率及其对座位的偏好性 是根据实际情况假设的6、假设三水校区二饭有8个窗口，每个窗口服务率为4人/分钟，每人平均就餐 时间为10
6、分钟。四. 符号说明V(t)t时段到达饭堂(开始排队)的总人数(饭堂系统输入量)iN (t) t时段在打饭区的人数(排队与打饭人数)1N2(t) t时段正在就餐的人数N3(t) t时段寻找座位人数七(t) t时段完成排队(开始寻找座位)的人数七(t) t时段找到座位准备就餐的人数七(t) t时段就餐完成离开的人数七(t) t时段离开饭堂的总人数(饭堂系统输出量)R学生就地就餐比率S饭堂座位容量s饭堂窗口数量 s人平均到达率R平均服务率厂单个窗口平均打饭时间T个人平均就餐时间W排队时长L排队队长五. 建立模型1. 问题分析研究人流问题，首先需要分析人流在饭堂的情况，通过人员流动结构流程图反映饭堂
7、内人流的走向，分析排队处人数和就餐区人数满足的条件。问题一中，先分析顾客到达数和顾客到达的时间间隔，确定它们的分布属于 哪种非负随机变量的分布；然后考虑到会有一定比例的人数选择离开，剩余部分 人数花费时间寻找座位，分析寻找座位的时间变量；最后设定就餐时间服从正态 分布，确定输出量，确定饭堂内人数随时间变化的模型。问题二中，假设排队系统为M / M / S / 8模型，分析平稳状态下的平稳分布， 推导出概率分布、平均队长、平均排队长、平均逗留时间和平均等待时间。问题三中，根据以上所构建的模型，得出已买饭者人数的满足关系，并确定 人均作为占有量模型。问题四中，选择“等待时长”指标，就增加窗口、分流
8、和分流前提下增加窗 口、对由窗口数量引起的人力成本变化进行分析，利用matlab软件建立二维平 面坐标图确定措施合理。2. 模型建立基于假设，对人流在饭堂的活动进行分析：人流到达饭堂便在打饭区排队； 排队完成后，一定比例的人数花费一定的时间寻找座位后，并在就餐区花费一定 的时间就餐，剩余的人数买饭后选择离开；就餐结束后便离开。人员流动结构流 程图如下：打饭区人数(t)，就餐区人数勺(。和寻找座位人数n3(t)满足:dN 1 (t)dt=匕(t) =(t)dN (t)dt=V2(t)dN (t)八 /、/、刀厂=R - V 2(t)问题一:v小表示在时间区间0/)内到达的学生人数(t 0),令P
9、 (t,t )表示在时间 V(t)n 12区间t,t ) (t t ) n(N 0)个学生到达的概率，即1 221P (t ,t )=P V(t )-V(t ) = n7一 :n 1221当P (t,t)符合下列三个条件：n121、在不相重叠的时间区间内学生到达数是相互独立的，我们称这性质为无 后效性。2、对充分小的 t，在时间区间t,t + t)内有一个学生到达的概率与t无关，而约与区间长 t成正比，即：片(一AF) = AAt + o(Af)其中o(5,当At 0时，是关于At的高阶无穷小。、0是常数，它表示单位时间有一个学生到达的概率，称为概率强度。3、对于充分小的At，在时间区间t,t
10、 + At)内有两个或两个以上学生到达的概率极小，以致可以忽略，即DC云只(-&) =。0)k=2由条件2,我们总可以取时间由0算起，并简记P(0,t) = P(t)。由条件1和2,有：比(，+) = %()，)Pn(f + Af) = V(Az),抑=1.2,，Jt=O由条件2和3得S X =-因而有片。+ 曲)-片(0 = _仍.)_ O0F)At% + ；厂旦=_压*祐(0 +誓.取At趋于零的极限，当假设所涉及的函数可导时，得到以下微分方程组:w-明，阴;:=-霍+此I (巾此=12取初值P (0) = 1, P (0) = 0 ( _12)，容易解出P (t) = e爪，再令 0nn
11、 = 1，2，0P(t) = U(t)软，可以得到(t)即其他Un(t)所满足的微分方程组，即: 籍 = %(r). m=1,2,，叫)=1，叩)=0.IP 侦)=-厂气 ” = 1.2.，推导得出学生进入饭堂排队人数即饭堂人数的总输入量V(t)服从泊松分布。i它的数学期望为E(V(t)=J即在单位时间内有人个学生到达，人亦为平均到达 i率。当输入过程是泊松流时，对于学生相继到达的时间间隔厂有:pt t= P十0,t)内达到人数为0)=P (t) = e-舄0以f (t)表示T的分布函数，则有PT Q0. Y 0而分布密度函数为f(r) =血一气 z0.推导出学生相继到达的时间间隔T服从指数分
12、布，期望E(T) = -1。对于泊松 力流，人表示单位时间平均到达的学生数，所以1表示学生相继到达饭堂的平均间 力隔时间，和上面推导所得相符。对一学生的服务时间也就是在忙期相继离开系统的两学生的间隔时间，运用 类比法，视为服从指数分布。可设它的分布函数G（t） = 1 - e-Mt, g（t） = r e-pt得P（Tf . PtTt + A）lini = imi := 口这表明，在任何小的时间间隔t, t + t） 一个学生完成打饭离去的概率是pA t +。（ A t ）。M表示单位时间能被服务完成的学生人数，称为平均服务率，而 1表示一个学生的平均服务时间。 口M因此，单位时间完成排队人数
13、,（t） = s xp当排队结束后，一部分学生直接离开饭堂，另外一部分则在饭堂进餐，在饭 堂进餐的学生人数比率为r，则准备寻找座位就餐学生人数为Rvi（t）。由于排完队后留下来的学生可能存在没有座位就餐，或者由于各种偏好影 响，不是一有空位即刻就坐，并且，有可能由于就餐者失误而造成座位的浪费， 所以，存在学生寻找座位的时间。记饭堂座位容量是S （这里假设为，20*20*8，每个长方体8个座位，长20个 长方体，宽20个长方体），而有效座位根据实际情况是随时变化的：1. 根据拥挤程度会导致小概率机会的减少，假设每M人会导致1个人的失误（这 里假设20人就会有一个人失误），如饭倒翻了等（也包括饭堂
14、不可避免的失误， 如空调滴水，靠近垃圾桶的位置的情况将导致周边的位置不可用），而每个人的 失误将导致4个座位不能用，且在饭堂开放时间内不可修复，而为了取整数，引 入高斯函数取整2. 假设同学们找座位符合贪婪心理，一开始会去找最近（或者有风扇）座位， 而到了后面，由于饭堂就餐人数增加，拥挤程度增加，其内心会发生变化，会选择就餐人数较少的长方体就餐，而到了后来，假设每个人找座位忍耐时间是3 分钟，当找座位的时间无限接近3分钟时，他们会就近选择位置（也不顾他是不 是拥挤长方体）3. 假设同学一般的心理，一个8个座位的长方体假如有n人就坐的话，他（们） 是不愿意坐下来的。而根据上面假设，我们假设吃饭的
15、人可能结伴而行，分别为1,2, 3,4人， 一般而言，一个人偏好自己一个人坐（除非遇到熟人），两个人偏好在彼此的对 面（如情侣和基友）且隔壁没人，三个人和四个人偏好坐在彼此对面无论隔壁 是否有人。于是，按照来的同学的高峰期（根据不同时间排队买饭人数和等待时间， 到达时间和排队结束时间）可以设置三个时间点：1.11:50-12:00：空闲座位多的时期（很快可以选择最优座位）2.12： 00-12:15：空闲座位不多的时期（由于座位少，需要一定时间寻找 座位）3.12:15-12： 30：空闲座位很少的时期（空闲作为太少，寻找座位时间接 近3分钟）假设不同人数的团体（人们结伴而来结伴吃饭）偏好性（一个长方体的空 位数）如下人数1234平均空闲座位多气(5)A2七A (4)
