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1、线段的垂直平分线（1）基于课程标准的教学方案设计【课题】 线段的垂直平分线（1）【教材来源】义务教育教科书/ 北京师范大学出版社 2013年版【内容】八年级数学下册（北师大版）22-24页【授课对象】八年级学生【设 计 者】柳俊平/新郑市苑陵中学【目标确定的依据】1. 基于课程标准的思考数学课程标准（2011年版）有关本课的要求是：理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.2.基于教材理解本节课内容是学生在七年级对线段的垂直平分线已经有了初步的认识，进一步深入探索线段垂直平分线的性质
2、定理和判定定理的基础上进行的，它既是对前面所学知识的整合应用，也是对这些知识的拓展与延伸，对学生学习数学具有重要的作用，是今后学习平面几何等内容的基础.在这个过程中，向学生渗透证明一个图形上的每个点都具有某种性质的方法：只需在图形上任取一点作为代表.3.基于学情分析本节课是教材第一章三角形的证明的第三节的第一课时，学生对线段的垂直平分线在七年级下册学习生活中的轴对称已经有了一定的基础，对线段的垂直平分线的几何图形已具有一定的认知水平，特别是经历了折纸等数学活动后，探索图形的意识明显增强.在此基础上对线段的垂直平分线的性质定理和判定定理作进一步的研究，无论是思想上还是方法上都具备良好的契机.这节
3、课的内容对学生学习图形的证明具有重要的作用.学生对于掌握性质定理和判定定理并不存在多大得困难，但是对定理的证明的条理性书写有一定的难度，尤其是每一步都做到有理有据.【学习目标】1.经历探索、猜想、证明的过程，会证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理，体会证明的必要性.2.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题.【学习重点】能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题.【学习难点】探索并证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理的过程.【评价任务】1. 能够正确找出线段垂直平分线的性质定理和判定定理的条件和结论，并会结合图形写出已知、求证和证明过程.2. 能运用线段垂直平分线的性质定
4、理和判定定理进行计算和推理.【学习资源准备】 多媒体课件、优教通资源.【教学环节】一、 情境导入用多媒体演示：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?强调“到两个仓库的距离相等”这几个字在题中的重要作用线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴【设计意图】通过问题情景，引导学生回顾七年级学习的线段的垂直平分线，从而引入本节课的主题线段的垂直平分线.【评价要点】会找到码头的位置，并会说出根据“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”.我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合，得出了线段垂直平分线的一个性质：线
5、段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等所以在这个问题中，要求在“建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”就利用此性质能完成进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”【设计意图】通过折纸、观察活动，引导学生得出线段的垂直平分线的性质定理，从而进行分析证明.【评价要点】能够说出自己的证明思路.二、重点研讨（一）研讨一教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等【设计意图】通过独立思考、小组合作交流，得出线段的垂直平分线的性质定理的证明过程，引导学生学会主动学习.【评价要点】通过思考、小组讨论，能找出性质定理的条件是“有
6、一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”，在老师引导下会分析、画图，写出已知和求证，并会说出证明的思路.已知：如图，直线MNAB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点求证：PA=PB分析：要想证明PA=PB，可以考虑它们所在的两个三角形是否全等证明：MNAB，PCA=PCB=90AC=BC，PC=PC,PCAPCB(SAS) PA=PB(全等三角形的对应边相等)教师用多媒体完整演示证明过程 【设计意图】老师规范证明的步骤，使证明做到条理清晰，有根有据.向学生渗透证明一个图形上的每个点都具有某种性质的方法：只需在图形上任取一点作为代表.性质定理的符号语言： P在
7、线段AB的垂直平分线MN上 PAPB【设计意图】规范学生应用线段的垂直平分线的性质定理的符号书写，体会文字语言、图形语言和符号语言的一致性，发展他们的推理证明能力.【评价要点】能正确说出符号语言.（二）研讨二你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?将原命题写成“如果那么”的形式，逆命题就容易写出刚才已经分析了原命题的条件和结论.原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”.这样，逆命题就很容易写出来“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上”【设计意图】引导学生对性质定理进行逆向思考，提出猜想，然后加以证明.告诉
8、学生这是获得新的结论的常用方法.【评价要点】能够正确说出逆命题.写出逆命题后，就想到判断它的真假如果真，则需证明；如果假，则用反例说明引导学生分析证明过程，然后书写出来，老师展示证法： 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB求证：P点在AB的垂直平分线上分析：要想证明P点在AB的垂直平分线上，我们可以过点P作AB的垂线，证明这条垂线平分AB.大家再认真想一想我们还可以怎么办，四人小组交流一下（小组汇报，并分别展示）证法一：证明：过点P作已知线段AB的垂线PC, 在RtPAC和RtPBC中PA=PB，PC=PC，RtPACRtPBC(HL)AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上证法二：取A
9、B的中点C，作直线PCAP=BP，PC=PC.AC=CB，APCBPC(SSS)PCA=PCB(全等三角形的对应角相等)又PCA+PCB=180，PCA=PCB=90，即PCABP点在AB的垂直平分线上证法三：过P点作APB的角平分线AP=BP，1=2，PC=PC，APCBPC(SAS)AC=BC，PCA=PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)又PCA+PCB=180PCA=PCB=90P点在线段AB的垂直平分线上证法四：过P作线段AB的垂线PC垂足为CPC是PAB的高.PA=PB，PAB是等腰三角形.PC是PAB的高，PC是PAB的中线.AC=BC直线PC是线段AB的垂直平分线P在AB
10、的垂直平分线上【设计意图】给学生充分的展示机会，对所学的知识加以应用，体会证明方法的多样性，感受“条条大路通罗马”.进一步巩固强化学生的证明推理能力. 让学生充分地参与到教学过程中，激发学生学习数学的积极性和求知欲.【评价要点】分析思路后能够选择一种证法写出证明过程.从同学们的证明过程可知，线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理线段垂直平分线的判定定理： 到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上判定定理的符号语言：PA=PB,点P在线段AB的垂直平分线上【设计意图】规范学生应用线段的垂直平分线的判定定理的符号书写，发展他们的推理证明能力.【评
11、价要点】能正确说出符号语言. 在进行完性质定理和判定定理的证明以后，引导学生进行总结：（1）线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的组成的图形.（2）到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上因为两点确定一条直线，所以只需找出这样的两个点即可做出线段的垂直平分线.（3）线段是一个轴对称图形，线段的垂直平分线就是它的对称轴 【设计意图】加强学生的归纳总结能力，渗透辩证统一的哲学思想。例题：已知：如图 ，在 ABC 中，AB = AC，O 是 ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段BC证明： AB = AC 点 A 在线段 BC 的垂直平
12、分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.法二：也可先证明ABOACO得到BAO=CAO,再在ABC中运用三线合一证. 【设计意图】学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法，并给出完整的证明过程.同时强调书写的简练性.【评价要点】能说出自己的思路 .（三）巩固练习如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，CBD的周长 18 cm，求 ABC的周长 【设计意图】通过基础题巩固线段的垂直平分线的性质 【评价
13、要点】能快速正确地写出过程，并能说出理由.（四）延伸训练已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上 一点. 求证：PB=PC 【设计意图】培养优等生灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题的能力，另外此题学生会用不同方法去证明，也利用拓展思维.【评价要点】通过独立思考、合作交流有些学生会想到全等，有些学生会想到线段垂直平分线的性质和判定，并会试着写出证明过程.三、课堂小结这节课，大家的学习都非常投入，老师相信你们的收获肯定也很多，那么谁能来谈谈自己本节课的收获呢？还有哪些困惑？【设计意图】学生自己总结收获的过程中，再一次回顾了本节课的主要内容，既加深了他们对本节课重点和难点的理解，又培养
14、了他们概括归纳知识的能力.【评价要点】能够说出自己本节课的收获.结束语：条理清晰，因果相应,言必有据,初学证明，谨记遵从.四、当堂检测如图,在ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,BCE的周长等于50,求BC的长. 【板书设计】1.3线段的垂直平分线（1）性质判定 定理：线段垂直平分线上的点 到线段两个端点的距离相等判定定理：PA=PB 点 P在 AB 的垂直平分线上性质定理： 点 P在 AB 的垂直平分线MN上 PA=PB 【作业设计】ACBDEA组题：如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，CBD的周长 18 cm，则 ABC的周长为 .B组题：如图在RtABC中，C=900 B=150 ， AB的垂直平分线交BC于D， 交AB于 E，DB=10 cm ， 求AC的长.选做题：如图，四边形AB
