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1、分式概念形如A、B是整式,B中含有字母的式子叫做分式.其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.且当分式的分子的次数低于分母的次数时,我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时,我们把这个分式叫做假分式.注意：判断一个式子是否是分式,不要看式子是否是的形式,关键要满足：分式的分母中必须含有字母,分子分母均为整式.无需考虑该分式是否有意义,即分母是否为零.由于字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性.方法：数看结果,式看形.分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0.2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0.3.分式值为正数条件：分子分母同号得正,异号得负.4.分式值为1的
2、条件：分子=分母0.5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数,且都不为0.代数式分类整式和分式统称为有理式.带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式.无理式和有理式统称代数式.分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式,分式的值不变.用式子表示为：A,B,C为整式,且B、C0运算法则约分根据分式基本性质,可以把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式.约分步骤：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.2.分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去.公
3、因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.最简分式：一个分式不能约分时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分.分式的乘法法则：1两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.（2） 两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：分式的加减法法则：同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为：异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的
4、分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.除以一个分式,等于乘以这个分式的倒数:乘方分子乘方做分子,分母乘方做分母,可以约分的约分,最后化成最简：分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.分式方程的解法：1去分母方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程2按解整式方程的步骤求出未知数的值3验根求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根.分式方程解法的归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是去分母,即方程两边同乘最简公分母
5、,这也是解分式方程的一般思路和做法.基础精讲一、分式的概念1、正确理解分式的概念：例1有理式1； 2； 3； 4；5；6中,属于整式的有：；属于分式的有：.2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零. 例如,当x为 时,分式有意义错解：时原分式有意义 不要随意用或与且.例如 当x_时,分式有意义？错解：由分母,得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制当时,分式有意义当时,分式无意义当时,分式值为0二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式,分式的值不变.(1) 分式的基本性质是分式恒等变形的依据,它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础,因此,我们要正确理解分式
6、的基本性质,并能熟练的运用它理解分式的基本性质时,必须注意：分式的基本性质中的A、B、M表示的都是整式在分式的基本性质中,M0分子、分母必须同时乘以M,不要只乘分子或分母性质中分式的值不变这句话的实质,是当字母取同一值零除外时,变形前后分式的值是相等的.但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的注意：根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以同一个不等于零的整式,而不能同时加上同一个整式例3下列变形正确的是A; B C D例4 如果把分式中的都扩大3倍,那么分式的值一定 A.扩大3倍 B.扩大9倍
7、 C. 扩大6倍 D.不变2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.例51化简的结果为A B C D2化简的结果ABCD3化简的结果是ABCD3、通分通分的依据是分式的基本性质,通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：1最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数；2最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积;三、分式的运算1、分式运算时注意：1注意运算顺序例如,计算,应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行错解：原式2通分时不能丢掉分母例如,计算,出现了这样的解题错误：原式=分式通分是等
8、值变形,不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；3忽视分数线具有括号的作用:分式相减时,若分子是多项式,其括号不能省略 4最后的运算结果应化为最简分式2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.先把除法变为乘法；接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解,当然有乘方运算要先算乘方,然后同其它分式进行约分；再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式 3、加减的加减 1同分母分式加减法则：分母不变,分子相加减. 2异分母分式加减法则：运算步骤：先确定最简公分母；对每项通分,化为分母相同； 按同分母分式运算法则进行；注意结果可否化简,化为最简4、分
9、式的混合运算注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算,其次进行乘、除运算,再进行加、减运算,遇有括号,先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式,并且能分解因式,可先分解因式,能约分的先约分,再进行运算. 例6计算：1； 2；（3） 4已知,则代数式的值分式运算中的技巧与方法1在分式运算中,若能认真观察题目结构特征,灵活运用解题技巧,选择恰当的运算方法,常常收到事半功倍的效果.现就分式运算中的技巧与方法举例说明.一、 整体通分法例1化简：-a-1分析 将后两项看作一个整体,则可以整体通分,简捷求解.解：-a-1=-=-=二、 逐项通分法例2计算-分析：注意到各分母的特征,联想乘法公式,适合
10、采用逐项通分法解：-=-=-=-=-=0三、 先约分,后通分例3计算：+分析：分子、分母先分解因式,约分后再通分求值计算解：+=+=+=2四、 整体代入法例4已知+=5求的值解法1：+=5xy0,.所以=解法2：由+=5得,=5, x+y=5xy=五、运用公式变形法例5已知a2-5a+1=0,计算a4+解：由已知条件可得a0,a+=5a4+=2-2=2-22-2=2-2=527六、设辅助参数法例6已知=,计算：解：设=k,则b+c=ak；a+c=bk；a+b=ck；把这3个等式相加得2= k若a+b+c=0,a+b= -c,则k= -1若a+b+c0,则k=2=k3当k=-1时,原式= -1当
11、k=2时,原式= 8七、应用倒数变换法例7已知=7,求的值解：由条件知a0,=,即a+=a2+1=2-1=八、取常数值法例8已知：xyz0,x+y+z=0,计算+解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2.则+=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数.九、把未知数当成已知数法例9已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算:解：把c当作已知数,用c表示a,b 得,a=3c, b=2c=.十、巧用因式分解法例10已知a+b+c=0,计算+解:a+b+c=0, a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b2a2+bc=a2+a2+bc=a2+a+bc=同理可得2b2+ac=,2c2+ab=+=+=-
12、+=1分式运算的几种技巧二1、先约分后通分技巧例1 计算+分析：不难发现,两个分式均能约分,故先约分后再计算解：原式=+=+=2、分离整数技巧例2 计算-分析：两个分式的分子、分母不能约分,如把分子突出分母,分离整数方法可使计算化简.解：原式=-=1+-1-=-=-3、裂项相消技巧例3 计算+分析：此类题可利用=-裂项相消计算.解：原式=-+-+-=-=4、分组计算技巧例4 计算+-分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4,第二项、第三项分母乘积为a2-1,采取分组计算简捷.解：原式=-+-=+=5、变形技巧例5 已知x2-3x+1=0,求x2+的值.分析：将已知两边同除以xx0可
13、变出x+,然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+的值.解：由x2-3x+1=0,两边同除以xx0,得x-3+=0,即x+=3所以x2+=x+2-2=32-2=7二、分式求值中的整体思想例1 若分式的值为,则的值为A、1 B、-1 C、- D、解：由已知=得2y2+3y+7=82y2+3y=1,4y2+6y=2所以=1,故选A.例2 已知+=4,则=.分析：由已知可得到a+b与ab的关系式,所求式通过分解因式可得到用a+b与ab的表达式,然后将a+b用ab代换即可求出所求式的值.解：由已知得=4 a+b=4ab=-点评：本题还可以将所求式分子、分母同除以ab得到=然后将已知式代入求值,这种方法也是常用的一种方法.例3 已知a2-3a+1=0,求的值.解：由已知a2-3a+1=0知a0,将已知等式两边同除以a得a-3+=0,a+=3所以=a2+=a+2-2=32-2=7=点评：所求式的倒数与已知式有联系时,先求所求式的倒数,再得所求式.a2=a22这一变换在以后经常用到同学们务必掌握.例4 已知+=,+=,+=,求的值.分析：将所求式分子、分母同除以abc可得到,只要将已知式变换出+即可.解：因为+=,+=,+=,将、左、右分别相加,得2+=+
